Pluggakuten.se / Forum / Gymnasiematematik / [MA 2/B] Andragradspolynom

daja · 2017-01-31 02:14

Hej!
Det är min första fråga men jag har redan hittat många svar på pluggakuten

Ett andragradspolynom p(x) har nollställena 1 och 4 och p(0)=-2. Är det sant att p(0) = p(6)?

Eftersom vi har 3 punkter (1;0) (0;-2) (4;0) på kurvan, vill jag börja med att söka k igenom ∆y/∆x. Jag har kollat svaret, som är -2 för k.
Formeln (0-2)/(4-0) fungerar, (-2/4), men inte (-2-0)/(0-1) eller (0-0)/(4-1)! !

Kan man inte räkna ut k men vilka punkter på kurvan som helst?

Yngve · 2017-01-31 02:24

daja skrev:
Hej!
Det är min första fråga men jag har redan hittat många svar på pluggakuten

Ett andragradspolynom p(x) har nollställena 1 och 4 och p(0)=-2. Är det sant att p(0) = p(6)?

Hej och välkommen till Pluggakuten!

Problemet är lätt att lösa om du vet vad symmetrilinjen är och att nollställena ligger symmetriskt kring den.

Senast redigerat av Yngve (2017-01-31 02:25)

Yngve · 2017-01-31 02:28

daja skrev:
Eftersom vi har 3 punkter (1;0) (0;-2) (4;0) på kurvan, vill jag börja med att söka k igenom ∆y/∆x. Jag har kollat svaret, som är -2 för k.
Formeln (0-2)/(4-0) fungerar, (-2/4), men inte (-2-0)/(0-1) eller (0-0)/(4-1)! !

Kan man inte räkna ut k men vilka punkter på kurvan som helst?

Jag tror att du blandar ihop det med ett linjärt samband y = kx + m.

Ett andragradspolynom har formen p(x) = ax^2 + bx + c och det har inget "k-värde" som kan beräknas med hjälp av ∆y/∆x.

Senast redigerat av Yngve (2017-01-31 02:28)

daja · 2017-01-31 02:49

Ah ok, jag började att misstänka att jag blandade ihop något.
Just det, andragrad funktioner har inga k värde...

Du pratar om symmetrilinjen, hur använder man det för att lösa ekvationen?

Yngve · 2017-01-31 02:57

Som sagt, metoden med symmetrilimjen är betydligt enklare, men du har rätt i att det går att bestämma p(x) fullständigt med hjälp av tre punkter på kurvan:

Metod 1:
Eftersom du i detta fallet känner till nollställena så kan du enkelt bestämma p(x).

p(x) har nollställen vid x = 1 och x = 4. Det betyder att p(x) kan faktoriseras med faktorerna (x-1) och (x-4) och du kan därför direkt sätta:
p(x) = a*(x-1)(x-4).
a kan sedan enkelt bestämmas med hjälp av sambandet p(0) = -2.

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

Metod 2, (med tre godtyckliga punkter på kurvan)

Ansätt p(x) = ax^2 + bx + c, bestäm a, b och c:

Punkt 1: (1; 0) ger att
0 = a*1^2 + b*1 + c, dvs a + b + c = 0

Punkt 2: (0; -2) ger att
-2 = a*0^2 + b*0 + c, dvs c = -2

Punkt 3: (4; 0) ger att
0 = a*4^2 + b*4 + c, dvs 16a + 4b + c = 0

Du har alltså ett ekvationssystem med 3 ekvatiober och 3 obekanta a, b och c. Då kan du lösa det och få fram värden på a, b och c för att bestämma p(x) fullständigt.

Senast redigerat av Yngve (2017-01-31 03:21)

Yngve · 2017-01-31 03:03

Symmetrilinjen är den linje där polynomet har sitt lokala max- eller minvärde.

Om du tittar på kurvan så ser du att den är symmetrisk kring symmetrilinjen, dvs om du viker papperet i symmetrilinjen så sammanfaller kurvan på de två delarna med varandra exakt.

Det betyder alltså att polynomets värden ligger symmetriskt från symmetrilinjen.
Speciellt ligger nollställena symmetriskt kring symmetrilinjen och därför ser du på en gång att symmetrilinjen för p(x) är x = 2,5 (mitt emellan x=1 och x=4.

Fråga: Ligger x=0 och x=6 lika långt från symmetrilinjen?

Du kan läsa mer om symmetrilinjen här (scrolla ner en bit):
http://www.matteboken.se/lektioner/matt … ekvationer

Senast redigerat av Yngve (2017-01-31 03:11)

daja · 2017-01-31 03:48

Tack, jag har aldrig förstått vad man behövde symmetrilinjen för! Nu vet jag

Senast redigerat av daja (2017-01-31 03:51)

Yngve · 2017-01-31 04:12

En bra fördjupning för ökad förståelse är att jämföra detta med PQ-formelns lösning av en andragradsekvation
$LaTeX ekvation$

$LaTeX ekvation$

Symmetrilinjen ligger alltså vid $LaTeX ekvation$

Och nollställena ligger symmetriskt kring symmetrilinjen, på avstånden $LaTeX ekvation$ från den.

Senast redigerat av Yngve (2017-01-31 04:34)

daja · 2017-01-31 04:31

Jag är alltid imponerad av folk som kan X-ray en ekvation och fatta exakt vad innehållet betyder.
Tack!

Yngve · 2017-01-31 04:35

daja skrev:
Jag är alltid imponerad av folk som kan X-ray en ekvation och fatta exakt vad innehållet betyder.
Tack!

Och nu är du på god väg att bli en av dem!

daja · 2017-02-01 03:54

Hej!
Jag har funderat på den här symmetrilinjen. Varför har vi den vi -p/2? Är minust tecken där för att den ''speglar'' något?
Tack på förhand!

Yngve · 2017-02-01 04:32

daja skrev:
Hej!
Jag har funderat på den här symmetrilinjen. Varför har vi den vi -p/2? Är minust tecken där för att den ''speglar'' något?
Tack på förhand!

Eftersom symmetrilinjen med nödvändighet går genom polynomets min- eller maxpunkt (annars vore grafen inte symmetrisk kring linjen) så kan symmetrlinjens placering fås fram genom att hitta polynomets extremvärde.

Om p(x) = x^2 + px + q deriveras så får vi p'(x) = 2x + p.
Ekvationen p'(x) = 0 ger nu att 2x + p = 0, dvs x = -p/2.

Dvs polynomets extremvärde (och därmed symmetrilinjen) återfinns vid x = -p/2.

~~~~~~~~~~

Ett annat sätt att komma fram till att symmetrilinjen ligger just vid x = -p/2 är att härleda PQ-formeln genom kvadratkomplettering av p(x):

$LaTeX ekvation$

Ekvationen p(x) = 0 kan då skrivas
$LaTeX ekvation$

$LaTeX ekvation$

$LaTeX ekvation$

$LaTeX ekvation$

Senast redigerat av Yngve (2017-02-01 06:03)

daja · 2017-02-01 09:48

Tack o förlåt för sent svar! Intressant, jag måste nog återkomma när jag har lärt mig derivering...
Det verkar att det hänger ihop iaf, spännande!

Yngve · 2017-02-01 09:55

daja skrev:
Tack o förlåt för sent svar! Intressant, jag måste nog återkomma när jag har lärt mig derivering...
Det verkar att det hänger ihop iaf, spännande!

Ojdå, jag tänkte inte på att man inte läser om derivata förrän i Matte 3.
Men kul att du är intresserad, då har du en bra möjlighet att lära dig mer

daja · 2017-02-01 14:59

Får jag fråga en sista sak om det? I lösning formeln med delta (-b-roten ur delad med 2a, med delta=b^2-4ac), -b/2 är nu symmetrilinjen och delta variationen kring det? Varför delta formeln kräver inte att a-koefficienten förenklas först?

Smaragdalena · 2017-02-01 15:10

Är det den här formeln du pratar om:
https://sv.wikipedia.org/wiki/Andragrad … ngsformeln

Det är precis samma formel som pq-formeln, förutom att man bakar i divisionen med koefficienten a i själva formeln i stället för att göra det i två steg.

daja · 2017-02-02 02:10

Ah men just det. Nu är det solklart!

Meddelande

[MA 2/B] Andragradspolynom

[MA 2/B] Andragradspolynom

Re: [MA 2/B] Andragradspolynom

daja skrev:

Re: [MA 2/B] Andragradspolynom

daja skrev:

Re: [MA 2/B] Andragradspolynom

Re: [MA 2/B] Andragradspolynom

Re: [MA 2/B] Andragradspolynom

Re: [MA 2/B] Andragradspolynom

Re: [MA 2/B] Andragradspolynom

Re: [MA 2/B] Andragradspolynom

Re: [MA 2/B] Andragradspolynom

daja skrev:

Re: [MA 2/B] Andragradspolynom

Re: [MA 2/B] Andragradspolynom

daja skrev:

Re: [MA 2/B] Andragradspolynom

Re: [MA 2/B] Andragradspolynom

daja skrev:

Re: [MA 2/B] Andragradspolynom

Re: [MA 2/B] Andragradspolynom

Re: [MA 2/B] Andragradspolynom

Sidfot