Vad vet vi om kortaste avståndet mellan en punkt och linje? (Du är inne på något om en normal till linjen...)

Däremot - du kan inte ta en kryssprodukt (vektorprodukt) av två punkter. Du kan använda vektorprodukten av två vektorer och få en vektor.

Woozah skrev:

Vad vet vi om kortaste avståndet mellan en punkt och linje? (Du är inne på något om en normal till linjen...)

Däremot - du kan inte ta en kryssprodukt (vektorprodukt) av två punkter. Du kan använda vektorprodukten av två vektorer och få en vektor.

Jag vet faktiskt inte vad det kortaste avståndet mellan en punkt och en linje är.. Hm så om jag får ut normalen, vad hjälper det mig?

Om man frågar efeter kortaste (eller längsta, eller största, eller minsta, eller... så är standardmetoden för den som läst längre än  till ma3 att vara skapa en funktion, derivera den och sätt derivatn till 0.

Men för en  derivieringsfri metod - Börja med att fundera ut det här från början. Gå ner till två dimensioner, så att det är lättare att rita. Rit en rät linje, t ex y = -2x - 3. Rita en punkt, t ex (3,1). Mät med en linjal hur långt det är från punkten till linjen. Du kommer att märka att den punkten på linjen som ligger närmast (3,1) är (-1,-1). Dra en linje mellan (3,1) och (-1,-1). Vilken riktningskoefficient har linjen? Jämför denna riktningskoefficient med riktningskoefficienten för den ursprungliga linjen. Vad har de för samband? Vad säger detta om de båda linjerna?

Kan du generalisera detta till tre dimensioner?

Och vad kan man säga om två linjer som har riktningskoefficienterna -2 respektive ½?

Spoiler (Klicka för att visa):

De är vinkelräta mot varandra.

Du vill ha fram en punkt P på linjen  l= (2+t, 1+2t, 2+2t) som är sådan att vinkeln mellan en linje som går genom P och Q och linjen l är vinkelräta mot varandra.

Det är så länge sedan som jag läste sådant här så jag kommer inte ihåg allting - gissa varför jag ville använda en annan metod!

Senast redigerat av Smaragdalena (2017-01-02 11:19)

idaemelie skrev:

Linjen l består av punkterna med koordinater: l= (x,y,z)= (2+t, 1+2t, 2+2t). Bestäm den punkt P på linjen som ligger närmast Q = (2,7,5). Bestäm även avståndet från P till Q.

Någon som skulle kunna hjälpa mig med hur jag ska börja?
Jag tänker att jag kanske tar ut normalen genom kryssprodukten av de två punkterna men vet inte riktigt om det är rätt tänkt..

Hej!

Linjens ekvation kan skrivas

    (x,y,z) = (2,1,2) + t*(1,2,2);

linjens riktningsvektor är alltså v = (1,2,2). Detta betyder att linjens normalvektor är n = ... ?

Avståndet mellan punkterna P och Q är minst när vektorn PQ är en förlängning av normalvektorn n.
Vektorn PQ är lika med

    (x,y,z) - (2,7,5) = (0,-6,-3) - t(1,2,2).


Gott Nytt År!

Woozah skrev:

Okej, så om vi inte vill derivera och vi har linjen (notera att det inte är ett lika-med-tecken mellan l och (x,y,z)!) så kan vi skriva den på formen där är riktningsvektorn . Vi har också en punkt .

Vi kan göra på det här sättet:
Vi skapar en vektor där punkten P ligger på linjen samt att är ortogonal mot linjen. Det är denna punkt P vi vill hitta.

För att göra det så kan vi:
1. Använda riktningvektorn för linjen, dvs vi har vektorn (1,2,2).
2. Att skrivs som .

Vi vet allt nu. Det vill säga; att måste vara ortogonal mot . Det är samma sak som att .

Lös nu för t och få lösningen, sen får du räkna ut avståndet mellan båda punkterna.




Editerade lite då jag hade dålig notation och ändrade så den passade till din uppgift.

Jag har fått ut att t=2, stämmer detta? Sätter jag bara in t i min ursprungliga ekvationen (2+t, 1+2t, 2+2t) för att få ut rätt punkt?

Gott nytt år och tack för all hjälp!