Resten har alltid lägre grad än divisorn men det är allt du vet på förhand.

Jämför med heltalsdivision. Om jag ska dela ett tal med 9 så vet jag på förhand att resten kommer vara ett tal som är mindre än 9; alltså 0,1,2,3,4,5,6,7 eller 8 men inte vilket.

Om jag delar med ett polynom av grad m så vet jag att resten kommer att ha grad 0, 1,2,..., eller m - 1 men inte på förhand vilken grad.

I ditt fall så delar du med ett polynom av grad 2, så du vet att resten kommer ha grad 0 eller 1 och oavsett vilket så kan ett sådant polynom skrivas på formen oavsett om det har grad 0 eller 1.

EDIT: Graden på kvoten q(x) behöver man inte gissa eftersom dess grad måste vara sådan att produkten av den och divisorn d(x), alltså d(x)q(x) måste ha samma grad som ursrprungspolynomet.

Betrakta:

p(x) = d(x)q(x) + r(x)

Den högsta termen i p(x), säg att det är x^7 måse vara resultatet av produkten av den högsta termen i d(x) och q(x) eftersom r(x) per definition är av lägre grad än p(x) och inte kan bidra med en sådan term.

Vå får således identiten

grad(p)= grad(d) + grad(q)

vilket tas tillsammans med restolikheten

grad(r) < grad(d)

Senast redigerat av SeriousSquid (2016-12-19 07:34)

Nej, nu handlar det inte om grader - SeriousSquid försökte göra en jämförelse med tal. Om du delar ett jättestort tal med 9 vet du att din rest inte kan bli större än 8. Det kan vara så att divisionen går jämnt ut, i så fall blir det ingen rest (eller resten = 0, om du så vill), eller så blir det en rest, och denna rest kan vara 1, 2, o s v t o m 8.

Kamel skrev:

Hej!

Jag har lite problem med att förstå mig på en lösning till en uppgift. Uppgiften är:

Låt vara ett polynom som satisfierar . Då delas med får vi en rest på . Finn vad vi får för rest då vi delar med .

Lösning: Vi har att eftersom att och därmed, att resten då vi dividerar med är . Vi kan nu skriva där för a, b några konstanter. Vi har att och att . Vi får ett ekvationssystem, och . Detta har lösningen och . Alltså är resten .

Det jag undrar är hur kan man anta graden på ; hur vet man att och inte ? Kan man också anta graden på ? I så fall vad är det för grad på den?

Tacksam för svar. :)

har gradtalet två.
Detta medför att gradtalet på resten har högst gradtal ett dvs gradtalet år ett eller noll.
r=ax+b blir då ansatsen.
Sedan bestämmer man värdena för a och b.
Här kan man se att resttermen är ax då polynomet är en udda funktion.

Ett par exempel

Senast redigerat av anders45 (2016-12-21 05:56)

Regeln grad(p)= grad(d) + grad(q) gäller.

Att hålla på med 0-gradspolynom är inte samma sak som heltalsdivision då polynomdivisionen man lär sig i gymnasiet formellt är division av polynom med reella koefficienter och divisionen i 0-gradsfallet blir vanlig hederlig reell division**

Om "polynomet" är 14 och divisorn 10 så blir kvoten bara 14/10 och divisionen skrivs:


Men ja, just i fallet med en divisor av grad 0 så blir också resten av grad 0 så formellt är identiteten

grad(r) < grad(d) eller grad(r) = 0

Men fallet med divisorer av grad 0 ligger ofta utanför vad som är användbart då algoritmer som Euklides algoritm eller ekvationslösning alltid avslutas när man når divisorer med grad 0.

**det finns en division explicit för polynom med heltalskoefficienter som producerar polynom med heltalskoefficienter som kvoter och rester men med reglerna du har nu så kommer inte ett polynom med heltaskoefficienter delat med ett polynom med heltaskoefficienter nödvändigtvis ge ett kvot-polynom med heltalskoefficienter.

Senast redigerat av SeriousSquid (2016-12-21 10:20)

SeriousSquid använder av någon anledning vanlig division. Använder man heltalsdividion (vilket man gör när man vill ha rester) blir det så som du skriver.

Ja, man håller på och försöker dividera "startpolynomet" med divisorn så länge det finns kvar termer som har högre grad än divisorns. Om du t ex har ett femtegradspolynom och det delas med ett andragradspolynom, så kommer den första termen i kvoten att ha graden 3 (5-2). sedan kan du få en andragradsterm, men när du bara har ett förstagradspolynom kvar, vet du att det inte kan vara delbart med divisorn. Då vet du att resten är ett förstagradspolynom ax+b (där det kan hända att a=0 så att det faktiskt är ett nolltegradspolynom, d v s en konstant).