Pluggakuten.se / Forum / Högskolematematik / [HSM] Bestäm möjliga rötter till tredjegradsfunktion

adira · 2016-08-13 08:41

Har ett problem jag tycker är klurigt:

a, b och c är tre naturliga tal och kan skrivas som:

$LaTeX ekvation$
$LaTeX ekvation$
$LaTeX ekvation$

$LaTeX ekvation$ är i sin tur alla tre positiva rationella tal. Jag vill bestämma alla möjliga kombinationer av x,y,z som uppfyller kraven för a, b och c.

Alltså, man kan se direkt att x,y,z=1 och x,y,z=3 är två möjliga tripplar. Vidare kan man se att även x,y,z=1,2,2 och x,y,z=2,4,4 är två ytterligare. Men jag kan inte vara säker på att det inte finns fler, och att pröva sig fram till svaren ska jag ju inte behöva göra.

Jag är säker på att man ska använda sig av Vietes formler för att lösa denna; man kan tänka sig en tredjegradsfunktion t.ex. $LaTeX ekvation$ där x, y och z är rötterna, och därmed får man sambanden $LaTeX ekvation$ , $LaTeX ekvation$ och $LaTeX ekvation$ .

Alltså kan man skriva om f(t) som $LaTeX ekvation$ etc.
Man bör kunna faktorisera vidare för att utnyttja detta för att visa vad x,y,z kan vara, men jag känner att jag inte kommer ngnvart.

Senast redigerat av adira (2016-08-13 09:03)

PimpNamedSlickBack · 2016-08-13 08:52

Bryt ut ett t från f(t). Denna sätter du som t3 = 0. Nu har du t2 kvar att lösa. Använd PQ-formeln.

adira · 2016-08-13 09:07

PimpNamedSlickBack skrev:
Bryt ut ett t från f(t). Denna sätter du som t3 = 0. Nu har du t2 kvar att lösa. Använd PQ-formeln.

Har du prövat själv att göra det?

bebl · 2016-08-14 02:16

Din ekvation $LaTeX ekvation$ är en tredjegradsekvation med enbart
heltaliga koefficienter $LaTeX ekvation$ (eftersom de är natorliga tal $LaTeX ekvation$ )
Dessutom kan inte $LaTeX ekvation$ vara lika med $LaTeX ekvation$ , ty det skulle göra $LaTeX ekvation$ odefinierat.

$LaTeX ekvation$ kräver att alla $LaTeX ekvation$ (stämmer med dina funna lösningar)

Enligt uppgift gäller att $LaTeX ekvation$ är i sin tur alla tre positiva rationella tal.
Dvs det gäller att $LaTeX ekvation$ och $LaTeX ekvation$ . Därmed följer att $LaTeX ekvation$ och ditt $LaTeX ekvation$

Vad säger satsen om möjliga lösningar till enbart rationella koefficienter?

se https://sv.wikipedia.org/wiki/Polynomfaktorisering och http://www2.math.su.se/~joeb/public/alg … rotter.pdf

se även http://mathworld.wolfram.com/LLLAlgorithm.html

Senast redigerat av bebl (2016-08-14 03:19)

adira · 2016-08-14 04:55

bebl skrev:
Din ekvation $LaTeX ekvation$ är en tredjegradsekvation med enbart
heltaliga koefficienter $LaTeX ekvation$ (eftersom de är natorliga tal $LaTeX ekvation$ )
Dessutom kan inte $LaTeX ekvation$ vara lika med $LaTeX ekvation$ , ty det skulle göra $LaTeX ekvation$ odefinierat.

$LaTeX ekvation$ kräver att alla $LaTeX ekvation$ (stämmer med dina funna lösningar)

Enligt uppgift gäller att $LaTeX ekvation$ är i sin tur alla tre positiva rationella tal.
Dvs det gäller att $LaTeX ekvation$ och $LaTeX ekvation$ . Därmed följer att $LaTeX ekvation$ och ditt $LaTeX ekvation$

Vad säger satsen om möjliga lösningar till enbart rationella koefficienter?

se https://sv.wikipedia.org/wiki/Polynomfaktorisering och http://www2.math.su.se/~joeb/public/alg … rotter.pdf

se även http://mathworld.wolfram.com/LLLAlgorithm.html

Tack, jag har inte tittat på hemsidorna än men ska göra det. Men jag blir osäker på din kommentar i fetstil;
$LaTeX ekvation$ eftersom $LaTeX ekvation$ d.v.s $LaTeX ekvation$ . Menade du att det skulle vara en motsägelse?

JohanB · 2016-08-14 07:15

Det går att skriva om till en tredjegradare genom att använda att cb=xy+yz+zx, dvs vad som borde stå framför t-termen.
Då har vi att t^3-at^2+bct-c=0 har precis lösningar x,y,z.

Eventuella rationella rötter p/q till detta polynom, som har heltalskoefficienter, har då speciella egenskaper.
Nämligen så gäller det att
p^3-ap^2q+bcpq^2-cq^3=0 (vi sätter in p/q och förlänger med q^3).

Om vi antar att p,q inte har några gemensamma delare (utom 1), så kan vi då se att p måste dela c, och q måste dela 1.
Vad kan vi då dra för slutsatser?

Meddelande

[HSM] Bestäm möjliga rötter till tredjegradsfunktion

[HSM] Bestäm möjliga rötter till tredjegradsfunktion

Re: [HSM] Bestäm möjliga rötter till tredjegradsfunktion

Re: [HSM] Bestäm möjliga rötter till tredjegradsfunktion

PimpNamedSlickBack skrev:

Re: [HSM] Bestäm möjliga rötter till tredjegradsfunktion

Re: [HSM] Bestäm möjliga rötter till tredjegradsfunktion

bebl skrev:

Re: [HSM] Bestäm möjliga rötter till tredjegradsfunktion

Sidfot