Pluggakuten.se / Forum / Matematiska bevis / Derivatan av ln(x)

Cerealkiller · 2012-02-09 15:46

Här kommer ett simpelt men snyggt bevis för derivatan av den naturliga logaritmfunktionen $LaTeX ekvation$ för alla positiva reella tal x.

Vi utgår från derivatan av den linjära funktionen $LaTeX ekvation$ och skriver funktionen med Eulers tal $LaTeX ekvation$ som bas.

$LaTeX ekvation$

För en funktion $LaTeX ekvation$ är $LaTeX ekvation$ . Vi tillämpar detta och får då:

$LaTeX ekvation$ .

Vidare vet vi att $LaTeX ekvation$ , därmed är $LaTeX ekvation$ . Enligt definitionen för den naturliga logaritmfunktionen är $LaTeX ekvation$ . Vi får då:

$LaTeX ekvation$

$LaTeX ekvation$

Senast redigerat av Cerealkiller (2012-02-09 15:48)

micheliin · 2012-02-09 16:20

Här kommer ett annat sätt.

$LaTeX ekvation$

Cerealkiller · 2012-02-10 06:34

micheliin skrev:
Här kommer ett annat sätt.

$LaTeX ekvation$

Fint!

Förstår dock inte riktigt detta steg:

$LaTeX ekvation$

Dividerade du helt enkelt med funktionen? Är det tillåtet?

Student-t · 2012-02-10 06:51

Man kan också använda sig av derivatans definition.

$LaTeX ekvation$

Låter vi nu $LaTeX ekvation$ så $LaTeX ekvation$

och vi är klara.

Poolpt · 2012-02-10 08:49

Cerealkiller skrev:
micheliin skrev:
Här kommer ett annat sätt.

$LaTeX ekvation$
Fint!

Förstår dock inte riktigt detta steg:

$LaTeX ekvation$

Dividerade du helt enkelt med funktionen? Är det tillåtet?

Det är tillåtet att dividera med vilket tal som helst utom noll.

Cerealkiller · 2012-02-11 05:26

Poolpt skrev:
Det ]är tillåtet att dividera med vilket tal som helst utom noll.

Det förstår jag Syftade dock på skrivsättet. Förstår dock nu.

Student-t skrev:
Man kan också använda sig av derivatans definition.

$LaTeX ekvation$

Låter vi nu $LaTeX ekvation$ $LaTeX ekvation$

och vi är klara.

Snyggt! Ska kolla på det närmare.

Senast redigerat av Cerealkiller (2012-02-11 05:27)

D.Hilbert · 2012-02-12 03:35

Man kan alltid substituera h/x=t i sättet där man använder sig av derivatans definition. Då får man "det andra" gränsvärdet för e om man tycker att det är lite krångligt att direkt tillämpa logaritmlagarna på ovanstående.

Cerealkiller · 2012-02-14 12:41

D.Hilbert skrev:
Man kan alltid substituera h/x=t i sättet där man använder sig av derivatans definition. Då får man "det andra" gränsvärdet för e om man tycker att det är lite krångligt att direkt tillämpa logaritmlagarna på ovanstående.

Självklart, smidigt. Tack

Oscillatorn · 2012-10-13 21:33

Definera $LaTeX ekvation$

Tillämpa sedan derivatans definition.
$LaTeX ekvation$ $LaTeX ekvation$

vi tillämpar nu integralens medelvärdessats och har då att
$LaTeX ekvation$
$LaTeX ekvation$
Slutligen har vi lyckats visa att $LaTeX ekvation$

Senast redigerat av Oscillatorn (2012-10-13 21:35)

albiki · 2013-05-20 14:23

Logaritmfunktionen definieras som en integral

$LaTeX ekvation$

En av integralkalkylens fundamentalsatser ger att logaritmfunktionens derivata är lika med funktionen

$LaTeX ekvation$

Meddelande

Derivatan av ln(x)

Derivatan av ln(x)

Re: Derivatan av ln(x)

Re: Derivatan av ln(x)

micheliin skrev:

Re: Derivatan av ln(x)

Re: Derivatan av ln(x)

Cerealkiller skrev:

micheliin skrev:

Re: Derivatan av ln(x)

Poolpt skrev:

Student-t skrev:

Re: Derivatan av ln(x)

Re: Derivatan av ln(x)

D.Hilbert skrev:

Re: Derivatan av ln(x)

Re: Derivatan av ln(x)

Sidfot