Meddelande

Du befinner dig just nu på en äldre version av Pluggakuten, gamla.pluggakuten.se. Nya Pluggakuten lanserades den 6 februari 2017 och du finner forumet på www.pluggakuten.se.

På gamla.pluggakuten.se kan du fortfarande läsa frågorna och svaren som ställts, men du kan inte skapa ett nytt konto eller nya trådar. Nya frågor och nytt konto skapar du på det nya forumet, välkommen dit!

[HSM] Visa att derivering är en linjär avbildning

1234567
Medlem

Offline

Registrerad: 2010-04-18
Inlägg: 249

[HSM] Visa att derivering är en linjär avbildning

Betrakta vektorrummet B av polynom med reella koefficienter av grad högst 5.

a) Visa att derivering är en linjär avbildning av B i B och ange dess avbildningsmatris i basen {1,x,x^2,x^3,x^4,x^5}.
b) Visa att L(p)=p(2)x^2 är en linjär avbildning av B i B och ange dess avbildningsmatris i basen {1,x,x^2,x^3,x^4,x^5}.

Kommer ingenstans här (varken på a eller b). Förstår att jag ska börja med att visa att det gäller att L(x'+x'')=L(x')+L(x'') och L(ax)=aL(x), men lyckas inte ens med det. Tips?

 
sneagel
F.d. moderator

Offline

Registrerad: 2008-02-29
Inlägg: 13563

Re: [HSM] Visa att derivering är en linjär avbildning

a) En linjär avbildning F uppfyller F(ax + by) = aF(x) + bF(y). Utnyttja kända deriveringsregler för att visa att derivering är linjär. För att bestämma avbildningsmatrisen ska du ta fram bilden av basvektorerna, dvs bilden av 1,x,x^2,x^2,x^4 och x^5. Dessa bildvektorer utgör kolonnerna i avbildningsmatrisen.

b) kanske du klarar nu när du vet hur du ska lösa a).

 
1234567
Medlem

Offline

Registrerad: 2010-04-18
Inlägg: 249

Re: [HSM] Visa att derivering är en linjär avbildning

a)

LaTeX ekvation
LaTeX ekvation
LaTeX ekvation

LaTeX ekvation

Avbildningsmatrisen blir då
LaTeX ekvation

Är detta korrekt? Har inget facit nämligen (uppgiften är från en gammal tenta).

Senast redigerat av 1234567 (2013-01-05 08:22)

 
dioid
Medlem

Offline

Registrerad: 2007-06-12
Inlägg: 6115

Re: [HSM] Visa att derivering är en linjär avbildning

På andra raden använder du en deriveringsregel: D(p + q) = p' + q' = D(p) + D(q)
Den regeln i sig visar additivitetsbiten av lineariteten. Du visar det bara om p och q är monom.
På samma sätt på tredje raden D(Cp) = Cp' = C*D(p).

I avbildningsmatrisen ska inte själva vektorerna stå utan deras koordinater i basen (KOordinaterna som KOlumnvektorer).

Matrisen ska alltså bli en 6x6-matris med tal i (inga x).

 
1234567
Medlem

Offline

Registrerad: 2010-04-18
Inlägg: 249

Re: [HSM] Visa att derivering är en linjär avbildning

dioid skrev:

På andra raden använder du en deriveringsregel: D(p + q) = p' + q' = D(p) + D(q)
Den regeln i sig visar additivitetsbiten av lineariteten. Du visar det bara om p och q är monom.
På samma sätt på tredje raden D(Cp) = Cp' = C*D(p).

I avbildningsmatrisen ska inte själva vektorerna stå utan deras koordinater i basen (KOordinaterna som KOlumnvektorer).

Matrisen ska alltså bli en 6x6-matris med tal i (inga x).

Jaha, så vi får

LaTeX ekvation i den givna basen
LaTeX ekvation
LaTeX ekvation
...
LaTeX ekvation.

Vilket ger avbildningsmatrisen

LaTeX ekvation

Korrekt?

Senast redigerat av 1234567 (2013-01-06 10:13)

 
dioid
Medlem

Offline

Registrerad: 2007-06-12
Inlägg: 6115

Re: [HSM] Visa att derivering är en linjär avbildning

Ja, det stämmer.

 
1234567
Medlem

Offline

Registrerad: 2010-04-18
Inlägg: 249

Re: [HSM] Visa att derivering är en linjär avbildning

Okej, tack!

Har svårt att tolka b-uppgiften (se trådstart), blir det som en sammansatt funktion? Förstår ju att jag ska göra som i a-uppgiften, men kan inte komma på vad L(1), L(x) osv. är lika med.

 
dioid
Medlem

Offline

Registrerad: 2007-06-12
Inlägg: 6115

Re: [HSM] Visa att derivering är en linjär avbildning

L(p) = p(2)x^2, här är p = p(x) ett polynom och p(2) är polynomets värde då x = 2.

L(1) = x^2
L(x) = 2x^2
L(x^2) = 4x^2
osv

 
1234567
Medlem

Offline

Registrerad: 2010-04-18
Inlägg: 249

Re: [HSM] Visa att derivering är en linjär avbildning

Jaha, så avbildningsmatrisen blir helt enkelt

LaTeX ekvation?

 
dioid
Medlem

Offline

Registrerad: 2007-06-12
Inlägg: 6115

Re: [HSM] Visa att derivering är en linjär avbildning

Ja, det stämmer.

 


Sidfot

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson

Powered by Mattecentrum
 |  Denna sida använder cookies |  Kontakta oss |  Feedback |