Meddelande

Du befinner dig just nu på en äldre version av Pluggakuten, gamla.pluggakuten.se. Nya Pluggakuten lanserades den 6 februari 2017 och du finner forumet på www.pluggakuten.se.

På gamla.pluggakuten.se kan du fortfarande läsa frågorna och svaren som ställts, men du kan inte skapa ett nytt konto eller nya trådar. Är du redan medlem kan du däremot fortfarande logga in och svara i befintliga trådar. Nya frågor och nytt konto skapar du på det nya forumet, välkommen dit!

[MA 5/E] Bevisa att påståendet är delbart med 3 för alla heltal

Mountain Dew
Medlem

Offline

Registrerad: 2015-03-11
Inlägg: 11

[MA 5/E] Bevisa att påståendet är delbart med 3 för alla heltal

Hej!

Skulle behöva hjälp med att lösa denna uppgiften.

Visa att LaTeX ekvation är delbart med 3 för alla heltal a

För att lösa detta funderade jag på om modulo räkning skulle fungera och skrev därför upp vad jag ville bevisa.

LaTeX ekvation

Om talet är delbart med 3 borde även detta vara kongurent med 0 då det inte lämnar någon rest. Jag har dock ingen aning om hur jag ska fortsätta då jag inte har någon bestämd bas.

Modulo räkning är kanske helt fel väg att gå för att lösa denna uppgiften.

 
SeriousSquid
Medlem

Offline

Registrerad: 2010-05-17
Inlägg: 3643

Re: [MA 5/E] Bevisa att påståendet är delbart med 3 för alla heltal

Det finns tre möjligheter
1. a har rest 0 vid division med 3 (a är delbart med 3)
2. a har rest 1 vid division med 3
3. a har rest 2 vid division med 3

Fundera på vad som händer i dessa tre fall.

Alternativt kan du betrakta Fermats lilla sats eftersom 3 är ett primtal.


"...a result is trivial if: (a) it follows from the underlying definitions without any trickery or ingenuity and (b) a written specification of how it follows runs the danger of suggesting that it is nontrivial."
 
Henrik E
Medlem

Offline

Registrerad: 2015-09-22
Inlägg: 3189

Re: [MA 5/E] Bevisa att påståendet är delbart med 3 för alla heltal

Det tredje fallet skrivs lämpligen
3. a har rest -1 vid division med 3

 
Mountain Dew
Medlem

Offline

Registrerad: 2015-03-11
Inlägg: 11

Re: [MA 5/E] Bevisa att påståendet är delbart med 3 för alla heltal

SeriousSquid skrev:

Det finns tre möjligheter
1. a har rest 0 vid division med 3 (a är delbart med 3)
2. a har rest 1 vid division med 3
3. a har rest 2 vid division med 3

Fundera på vad som händer i dessa tre fall.

Alternativt kan du betrakta Fermats lilla sats eftersom 3 är ett primtal.

Är inte riktigt med på hur du menar. Om jag får en rest som skiljer sig från 0 är talet inte jämt delbart med tre. Men vad innebär detta för beviset. Finns det något algebraiskt sätt jag kan visa att resten alltid blir 0 oavsett värde på basen a?

 
albiki
Medlem

Offline

Registrerad: 2008-05-25
Inlägg: 6403

Re: [MA 5/E] Bevisa att påståendet är delbart med 3 för alla heltal

Hej!
Du har ett heltal (LaTeX ekvation) och studerar differensen

    LaTeX ekvation

Det gäller att LaTeX ekvation där k=0,1 eller 2 och LaTeX ekvation är ett heltal.
Enligt Binomialsatsen är

    LaTeX ekvation

Fall 1. Om LaTeX ekvation så är LaTeX ekvation delbart med 3 och då är LaTeX ekvation delbart med 3.
Fall 2. Om LaTeX ekvation så är LaTeX ekvation  delbart med 3, och då är LaTeX ekvation delbart med 3.
Fall 3. Vad kan man säga när k=2?

 
SvanteR
Medlem

Offline

Registrerad: 2015-09-24
Inlägg: 626

Re: [MA 5/E] Bevisa att påståendet är delbart med 3 för alla heltal

Tre saker som du behöver till ditt bevis:

1. Tänk på att när du ska jobba med delbarhet kan du dela upp problemet, och göra ett bevis för varje restklass. Det är det som SeriousSquid och andra är ute efter.

Det betyder att du först gör beviset för alla tal som är delbara med 3, dvs LaTeX ekvation (modulo 3). Sedan gör du beviset för alla tal som har resten 1 när man delar dem med 3, dvs LaTeX ekvation (modulo 3). Sist gör du beviset för alla tal som har resten 2 när man delar dem med 3, dvs LaTeX ekvation (modulo 3).

När du har gjort det har du täckt upp alla alternativ, och beviset är klart.


2. Använd omskrivningen

LaTeX ekvation

3. Använd räkneregeln för potenser när man gör kongruensräkning. Den formuleras lite olika i olika böcker men jag tänker på denna:

Om LaTeX ekvation (modulo n)

så är LaTeX ekvation (modulo n)

Det betyder till exempel att eftersom LaTeX ekvation (modulo 3) så är

LaTeX ekvation (modulo 3)

Men LaTeX ekvation, så LaTeX ekvation

Detta gäller naturligtvis alla heltal.


Nu kan man göra så här:

LaTeX ekvation

Om LaTeX ekvation (modulo 3) måste produkten ovan vara delbar med 3 (ser du varför?).

Om LaTeX ekvation (modulo 3) så är LaTeX ekvation (modulo 3) enligt punkt 3 ovan. Men då har LaTeX ekvation resten 1, och LaTeX ekvation resten 0, och alltså är produkten ovan delbar med 3.

Om LaTeX ekvation (modulo 3) så är LaTeX ekvation (modulo 3). Men LaTeX ekvation (modulo 3) och därför är även LaTeX ekvation (modulo 3). Men man kan skriva LaTeX ekvation, och då ser man att LaTeX ekvation, och sedan man fortsätta som för LaTeX ekvation (modulo 3)

Räcker detta för dig? Fråga annars igen!

Senast redigerat av SvanteR (2017-02-06 09:31)

 
Mountain Dew
Medlem

Offline

Registrerad: 2015-03-11
Inlägg: 11

Re: [MA 5/E] Bevisa att påståendet är delbart med 3 för alla heltal

SvanteR skrev:

Tre saker som du behöver till ditt bevis:

1. Tänk på att när du ska jobba med delbarhet kan du dela upp problemet, och göra ett bevis för varje restklass. Det är det som SeriousSquid och andra är ute efter.

Det betyder att du först gör beviset för alla tal som är delbara med 3, dvs LaTeX ekvation (modulo 3). Sedan gör du beviset för alla tal som har resten 1 när man delar dem med 3, dvs LaTeX ekvation (modulo 3). Sist gör du beviset för alla tal som har resten 2 när man delar dem med 3, dvs LaTeX ekvation (modulo 3).

När du har gjort det har du täckt upp alla alternativ, och beviset är klart.


2. Använd omskrivningen

LaTeX ekvation

3. Använd räkneregeln för potenser när man gör kongruensräkning. Den formuleras lite olika i olika böcker men jag tänker på denna:

Om LaTeX ekvation (modulo n)

så är LaTeX ekvation (modulo n)

Det betyder till exempel att eftersom LaTeX ekvation (modulo 3) så är

LaTeX ekvation (modulo 3)

Men LaTeX ekvation, så LaTeX ekvation

Detta gäller naturligtvis alla heltal.


Nu kan man göra så här:

LaTeX ekvation

Om LaTeX ekvation (modulo 3) måste produkten ovan vara delbar med 3 (ser du varför?).

Om LaTeX ekvation (modulo 3) så är LaTeX ekvation (modulo 3) enligt punkt 3 ovan. Men då har LaTeX ekvation resten 1, och LaTeX ekvation resten 0, och alltså är produkten ovan delbar med 3.

Om LaTeX ekvation (modulo 3) så är LaTeX ekvation (modulo 3). Men LaTeX ekvation (modulo 3) och därför är även LaTeX ekvation (modulo 3). Men man kan skriva LaTeX ekvation, och då ser man att LaTeX ekvation, och sedan man fortsätta som för LaTeX ekvation (modulo 3)

Räcker detta för dig? Fråga annars igen!

Efter problem med det nya forumet väljer jag att besvara tråden här istället och jag kan bara säga Wow vilket svar!

Är nu helt med på resonemanget nu och fick lite av ett aha moment där smile

Att man kan använda resterna för modulo 3 och testa delbarheten genom att stoppa in resterna som baser i uttrycket var något jag inte såg tidigare. 0^100-0^10 är självklart kongurent med 0 mod 3.
1^100 - 1^10 är också självklart kongurent med 0 mod 3.
Med basen 2 använder jag mig av omskrvningssett och potenslagen för kongurens beräkning för att lösa ut vad resten blir?

Har jag tolkat ditt svar korrekt att det är så här jag ska tänka?

 
Henrik E
Medlem

Offline

Registrerad: 2015-09-22
Inlägg: 3189

Re: [MA 5/E] Bevisa att påståendet är delbart med 3 för alla heltal

Att a=2+(multipel av 3) är detsamma som att a=-1+(multipel av 3) och (-1)^100 är förstås detsamma som 1^100.

 


Sidfot

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson

Powered by Mattecentrum
 |  Denna sida använder cookies |  Kontakta oss |  Feedback |