Meddelande

Du befinner dig just nu på en äldre version av Pluggakuten, gamla.pluggakuten.se. Nya Pluggakuten lanserades den 6 februari 2017 och du finner forumet på www.pluggakuten.se.

På gamla.pluggakuten.se kan du fortfarande läsa frågorna och svaren som ställts, men du kan inte skapa ett nytt konto eller nya trådar. Är du redan medlem kan du däremot fortfarande logga in och svara i befintliga trådar. Nya frågor och nytt konto skapar du på det nya forumet, välkommen dit!

[MA 2/B] Hemska ff(x) oförståliga funktion.

daja
Medlem

Offline

Registrerad: 2017-01-31
Inlägg: 30

[MA 2/B] Hemska ff(x) oförståliga funktion.

Hej,

Den här uppgift har jag kämpat med länge och även efter att jag har kollat olika lösningar på pluggakuten förstår jag fortfarande inte!

"Låt f(x)= ax/(2x+3) och undersök om man kan bestämma talet a så att f(f(x))=x."

Man kommer till slut till a^2-2ax-6x-9=0 och enligt en förklaring som jag läste (och inte förstått :'(...) måste koefficienten framför x vara lika med noll. Det står vidare att ''även konstanten måste vara lika med noll, dvs:
2(a+3) = 0 och 9-a^2 = 0''

Varför skulle vi vilja ha noll? Jag tror att jag förstår inte problemet. Är det någon som orkar förklara den som om jag var en 5-årig?

Stor tack på förhand.

 
bebl
Medlem

Offline

Registrerad: 2009-04-21
Inlägg: 6670

Re: [MA 2/B] Hemska ff(x) oförståliga funktion.

Om ekvationen  LaTeX ekvation ska gälla för varje LaTeX ekvation (och inte bara för vissa) så är det
egentligen ingen ekvation utan en identitet och  ska då skrivas med tre parallella - tecken LaTeX ekvation

Dvs säga som LaTeX ekvation . Detta är bara möjligt inte som du skrev

måste koefficienten framför LaTeX ekvation vara lika med noll, utan måste koefficienten framför varje potens  av LaTeX ekvation vara lika med noll. Nollan i högerledet är ingen vanlig nolla utan nollpolynomet.

se https://sv.wikipedia.org/wiki/Polynom  och Det finns ingen enighet om hur graden av nollpolynomet, det vill säga det polynom vars alla koefficienter är 0, skall definieras. Vissa författare föredrar att ...
‎Gradtal och benämningar · ‎Elementära egenskaper · ‎Nollställen · ‎Polynomvärde

Metoden kallas för obestämda koefficientmetoden och har tillämpningar på många andra matematiska problem
se t.ex. http://matmin.kevius.com/partial.php som finns på sidan http://matmin.kevius.com/indexo.php

där även andra matematiska definitioner (förklaras) eller snarare ges.
För full förståelse måste du träna begreppen i sitt rätta sammanhang.

Senast redigerat av bebl (2017-02-03 19:25)

 
daja
Medlem

Offline

Registrerad: 2017-01-31
Inlägg: 30

Re: [MA 2/B] Hemska ff(x) oförståliga funktion.

Jag är tacksam för svaret och har kollat länken, men sorry, jag förstår absolut inte hmm

Det är matte 2B, finns det en enklare sätt att formulera det, tills jag kommer på en högre nivå?

 
Smaragdalena
Medlem

Offline

Registrerad: 2012-02-02
Inlägg: 14676

Re: [MA 2/B] Hemska ff(x) oförståliga funktion.

Blir det lättare att förstå om man skriver LaTeX ekvation  ?

Det betyder att -2a-6 = 0, så att koefficienten framför x-termen är 0, och att a^2-9 = 0 så att konstanttermen är 0.

Vilket värde på a får du om du löser ekvationen -2a-6=0? Är det värdet en lösning till ekvationen a^2-9=0? I så fall har du fått fram det värde på a som gör att f(f(x))=x.Om det inte stämmer, finns det inget sådant värde på a.

 
daja
Medlem

Offline

Registrerad: 2017-01-31
Inlägg: 30

Re: [MA 2/B] Hemska ff(x) oförståliga funktion.

Smaragdalena skrev:

Blir det lättare att förstå om man skriver LaTeX ekvation  ?

Det betyder att -2a-6 = 0, så att koefficienten framför x-termen är 0, och att a^2-9 = 0 så att konstanttermen är 0.

Vilket värde på a får du om du löser ekvationen -2a-6=0? Är det värdet en lösning till ekvationen a^2-9=0? I så fall har du fått fram det värde på a som gör att f(f(x))=x.Om det inte stämmer, finns det inget sådant värde på a.

Lite lättare, men jag har aldrig sett trippel equal tecken innan.

Att härleda -3 från  -2a-6 = 0 är det inga problem, vad jag fattar inte är steget innan. Varför måste alla x potenser försvinna för att få vår svar?

 
albiki
Medlem

Offline

Registrerad: 2008-05-25
Inlägg: 6403

Re: [MA 2/B] Hemska ff(x) oförståliga funktion.

daja skrev:

Hej,

Den här uppgift har jag kämpat med länge och även efter att jag har kollat olika lösningar på pluggakuten förstår jag fortfarande inte!

"Låt f(x)= ax/(2x+3) och undersök om man kan bestämma talet a så att f(f(x))=x."

Man kommer till slut till a^2-2ax-6x-9=0 och enligt en förklaring som jag läste (och inte förstått :'(...) måste koefficienten framför x vara lika med noll. Det står vidare att ''även konstanten måste vara lika med noll, dvs:
2(a+3) = 0 och 9-a^2 = 0''

Varför skulle vi vilja ha noll? Jag tror att jag förstår inte problemet. Är det någon som orkar förklara den som om jag var en 5-årig?

Stor tack på förhand.

Hej!

Du vill att sambandet (a^2-9) - (2a+6)x = 0 ska gälla för varje tal x som man kan tänka sig.

Till exempel ska det gälla då x=0. Om x=0 så säger sambandet att (a^2-9) = 0; talet a måste alltså vara sådant att a^2 = 9.

Men då måste sambandet vara (2a+6)x = 0, och detta samband ska gälla för varje tal x som man kan tänka sig.

Till exempel ska det gälla då x=1. Om x=1 så säger sambandet att (2a+6) = 0; talet a måste alltså vara sådant att 2a = -6.

Talet a måste alltså ha de två egenskaperna a^2 = 9 och 2a = -6. Vilket tal har båda dessa egenskaper?

P.S. Du kan välja andra värden på x än 0 och 1, men resultaten blir ändå desamma: Talet a måste ha de två egenskaperna a^2 = 9 och 2a = -6.

Senast redigerat av albiki (2017-02-03 20:07)

 
bebl
Medlem

Offline

Registrerad: 2009-04-21
Inlägg: 6670

Re: [MA 2/B] Hemska ff(x) oförståliga funktion.

Det är matte 2B, finns det en enklare sätt att formulera det, tills jag kommer på en högre nivå?

Möjligen, men satsen att två polynom i LaTeX ekvation är lika förvarje värde på LaTeX ekvation, (dvs identiskt lika) används ofta på gymnasienivå men bevisas aldrig där.
Det Kan jämföras med Aritmetikens fundamentalsats, som ofta används men aldrig bevisas på  denna nivå.
Varje (positivt) heltal LaTeX ekvation har en unik primtalsfaktorisering så när som på ordningsföljden av faktorerna.
OBS Talet LaTeX ekvation är alltid en faktor men ingen primfaktor. Dessutom är antalet 1yikesr obestämt.

 
roland.nilsson
Medlem

Offline

Registrerad: 2015-09-11
Inlägg: 613

Re: [MA 2/B] Hemska ff(x) oförståliga funktion.

Om vi samlar ihop x-termerna och konstanterna kan din identitet skrivas som

2(a+3)x + 9 - a^2 = 0

Vänsterledet beskriver en rät linje,  y = k x + m,  med lutningen  k = 2(a+3) och skärningspunkten m = 9 - a^2.  Men högerledet säger att linjen ska vara y = 0, alltså en vågrät linje längs med x-axeln.  För att det ska stämma måste både lutningen k och skärningspunkten m vara noll.  Alltså

2(a+3)  = 0
9 - a^2 = 0

Detta ger bara en möjlig lösning för talet a.  Prova att sätta in det värdet på a i den ursprungliga funktionen, och testa om du verkligen får f(f(x)) = x  !

 
daja
Medlem

Offline

Registrerad: 2017-01-31
Inlägg: 30

Re: [MA 2/B] Hemska ff(x) oförståliga funktion.

Nu har jag sovit på det och jag tror att jag äntligen förstår resonemang smile. Man utvecklar och förenklar först ff(x)=x och säkerställer att -2x=6 och 9=a^2. Det fungerar med siffran -3 men inte med 3.
Tack till alla som har hjälpt ur skyttegraven! smile smile

 
roland.nilsson
Medlem

Offline

Registrerad: 2015-09-11
Inlägg: 613

Re: [MA 2/B] Hemska ff(x) oförståliga funktion.

Fint!  smile

Det är en ganska finurlig uppgift egentligen.  Om en funktion f(x) uppfyller villkoret f(f(x)) = x  så måste funktionen vara sin egen invers,

LaTeX ekvation

eller hur?  Såna funktioner måste vara symmetriska på ett visst sätt.  Kan du se från grafen av din funktion

LaTeX ekvation

att den har en viss symmetri?  Och vad är skillnaden när vi jämför med grafen av

LaTeX ekvation  ?

 
daja
Medlem

Offline

Registrerad: 2017-01-31
Inlägg: 30

Re: [MA 2/B] Hemska ff(x) oförståliga funktion.

roland.nilsson skrev:

Fint!  smile

Det är en ganska finurlig uppgift egentligen.  Om en funktion f(x) uppfyller villkoret f(f(x)) = x  så måste funktionen vara sin egen invers,

LaTeX ekvation

eller hur?  Såna funktioner måste vara symmetriska på ett visst sätt.  Kan du se från grafen av din funktion

LaTeX ekvation

att den har en viss symmetri?  Och vad är skillnaden när vi jämför med grafen av

LaTeX ekvation  ?

Det är jag inte tänkt på!
Jag ska kolla upp det imorgon smile.

Är det lite grand som när 2 perpendikulära funktioner k värden produkt blir -1?

 
roland.nilsson
Medlem

Offline

Registrerad: 2015-09-11
Inlägg: 613

Re: [MA 2/B] Hemska ff(x) oförståliga funktion.

Inte riktigt, men du kanske är inne på rätt spår.  För funktionen  f(x) = kx  så beror det på k-värdet om funktionen är sin egen invers.  Du kan hitta de k-värden som funkar på samma sätt som i uppgiften ovan.

 
daja
Medlem

Offline

Registrerad: 2017-01-31
Inlägg: 30

Re: [MA 2/B] Hemska ff(x) oförståliga funktion.

Det blir lättare att tänka att funktionen är sitt invers och speglar sig själv när man ersätter ff(x) med ''y''. Men nu har jag ännu mer följdfrågor smile!

Så här ser barnen ut:
(https://www.wolframalpha.com/input/?i=y%3D3x%2F(2x%2B3)+and+y%3D-3x%2F(2x%2B3))

Först och framst, jag ser att det finns två definitonsmängder (A) med xsad-7.5;7;5) och (B) med xsad-1.5;1;5). (-1.5;1;5) tillhör (-7.5;7;5), (B) borde väl ingå i (A) eller? Jag förstår att vi får en rätt linje med x=-1,5 men inte alla x värden upp till 1,5.

Jag tror att jag har inte riktigt följt med: hur gör vi '''hoppet'' från 2(a+3)x + 9 - a^2 = 0 tills 3x/2x+3? Vad händer med konstanten a? Jag följer inte hur man tänker här!

Hur fungerar spegling egentligen? I fall y=kx+m har vi k värden vems produkt måste vara -1. Varför f^-1(x) skrivs inte genom att invertera nämnaren och täljaren, alltså 2x+3/3x?

Tack så mycket för alla förklaringar, jag tycker att det är super intressant smile

Senast redigerat av daja (2017-02-05 05:44)

 
roland.nilsson
Medlem

Offline

Registrerad: 2015-09-11
Inlägg: 613

Re: [MA 2/B] Hemska ff(x) oförståliga funktion.

Bra att du följer upp och tittar närmare på uppgiften!  Oftast lär man sig mest då, när man har löst en uppgift men går tillbaka och vrider och vänder på det, provar lite varianter, tar reda på varför det blir som det blir, osv.  Topp!

daja skrev:

Först och framst, jag ser att det finns två definitonsmängder (A) med xsad-7.5;7;5) och (B) med xsad-1.5;1;5). (-1.5;1;5) tillhör (-7.5;7;5), (B) borde väl ingå i (A) eller? Jag förstår att vi får en rätt linje med x=-1,5 men inte alla x värden upp till 1,5.

Tänk på att Wolfram Alpha inte ritar hela funktionen (den reella tallinjen är ju oändlig).  Definitionsmängden kan du se från själva uttrycket 3x / (2x + 3), det går bra med vilket x som helst utom  x = -3/2 = -1.5, för just i den punktern händer det nåt med nämnaren, eller hur?

Alpha ritar inte alltid helt rätt heller, så man får se upp! Den lodräta linjen som Wolfram Alpha ritar vid -1.5 ska egentligen inte vara där; funktionen är odefinierad i den punkten, så det finns inga funktionsvärden att rita in i grafen.  Dessutom väljer Alpha olika skalor på axlarna så att funktionen blir "ihoptryckt" och man ser inte symmetrin riktigt.

Här är grafer av de två funktionerna som jag har städat upp lite (med Wolfram Mathematica).  Nu kanske det är lättare att se symmetrin?

http://i67.tinypic.com/2iaud5k.jpg

daja skrev:

Jag tror att jag har inte riktigt följt med: hur gör vi '''hoppet'' från 2(a+3)x + 9 - a^2 = 0 tills 3x/2x+3? Vad händer med konstanten a? Jag följer inte hur man tänker här!

Ekvationen  2(a+3)x + 9 - a^2 = 0  var ju ekvivalent med ekvationen  f(f(x)) = x .  Så när du löser denna ekvation bestämmer du vilket värde på parametern a som gör att funktionen f(x) uppfyller f(f(x)) = x.

daja skrev:

Hur fungerar spegling egentligen? I fall y=kx+m har vi k värden vems produkt måste vara -1. Varför f^-1(x) skrivs inte genom att invertera nämnaren och täljaren, alltså 2x+3/3x?

Jag förstår om du blir förvirrad av notationen LaTeX ekvation, den är lite missvisande.  Vi skriver ju t.ex. LaTeX ekvation för ett tal x, men det gäller inte för funktioner! Det är alltså inte sant att LaTeX ekvation för alla funktioner LaTeX ekvation.  Tänk istället på LaTeX ekvation som en enda (krånglig) symbol för en viss funktion, inte "f upphöjt till -1".

Om det underlättar så kan vi kalla inversen till f(x) för något annat, så slipper vi den där störiga -1 exponenten. Vi kan kalla inversen för  g(x) till exempel. Inversen fungerar ju som så, att om vi först beräknar y = f(x), så kan vi sedan "få tillbaka" x genom  x = g(y).  Inversen g är liksom "funktionen f baklänges"  :-)

Vi kan ta den linjära funktionen  y = f(x) = kx + m  som exempel. Hur "får vi tillbaka" x om vi vet värdet på y?  Jo, vi löser ut x ur ekvationen y = kx + m!  Det ger  x = (y - m)/k.  Det är alltså vår invers till f(x):

f(x) = kx + m    <-->    g(y) = (y - m)/k

Observera att inversen g(y) är inte samma sak som 1/f(y) = 1/(ky + m) här!  Prova nu att sätta samman funktionen och dess invers, och räkna ut/förenkla  g(f(x)).  Vad får du då? Testa också att rita de två linjerna f(x) och g(x) så ser du kanske hur "speglingen" fungerar rent geometriskt.

Prova sedan att lösa ut x ur din funktion y = f(x) = -3x/(2x +3),  som vi gjorde med kx + m ovan.  Vad får du då?

 
daja
Medlem

Offline

Registrerad: 2017-01-31
Inlägg: 30

Re: [MA 2/B] Hemska ff(x) oförståliga funktion.

Och vilket tur vi har med engagerade och friviliga lärare som tar tid för att fixa våra kunskap luckor smile. Jag ska ta det först sak i morgon bitti och återkommer!

 
daja
Medlem

Offline

Registrerad: 2017-01-31
Inlägg: 30

Re: [MA 2/B] Hemska ff(x) oförståliga funktion.

roland.nilsson skrev:

Bra att du följer upp och tittar närmare på uppgiften!  Oftast lär man sig mest då, när man har löst en uppgift men går tillbaka och vrider och vänder på det, provar lite varianter, tar reda på varför det blir som det blir, osv.  Topp!

daja skrev:

Först och framst, jag ser att det finns två definitonsmängder (A) med xsad-7.5;7;5) och (B) med xsad-1.5;1;5). (-1.5;1;5) tillhör (-7.5;7;5), (B) borde väl ingå i (A) eller? Jag förstår att vi får en rätt linje med x=-1,5 men inte alla x värden upp till 1,5.

Tänk på att Wolfram Alpha inte ritar hela funktionen (den reella tallinjen är ju oändlig).  Definitionsmängden kan du se från själva uttrycket 3x / (2x + 3), det går bra med vilket x som helst utom  x = -3/2 = -1.5, för just i den punktern händer det nåt med nämnaren, eller hur?

Alpha ritar inte alltid helt rätt heller, så man får se upp! Den lodräta linjen som Wolfram Alpha ritar vid -1.5 ska egentligen inte vara där; funktionen är odefinierad i den punkten, så det finns inga funktionsvärden att rita in i grafen.  Dessutom väljer Alpha olika skalor på axlarna så att funktionen blir "ihoptryckt" och man ser inte symmetrin riktigt.

Här är grafer av de två funktionerna som jag har städat upp lite (med Wolfram Mathematica).  Nu kanske det är lättare att se symmetrin?

http://i67.tinypic.com/2iaud5k.jpg

daja skrev:

Jag tror att jag har inte riktigt följt med: hur gör vi '''hoppet'' från 2(a+3)x + 9 - a^2 = 0 tills 3x/2x+3? Vad händer med konstanten a? Jag följer inte hur man tänker här!

Ekvationen  2(a+3)x + 9 - a^2 = 0  var ju ekvivalent med ekvationen  f(f(x)) = x .  Så när du löser denna ekvation bestämmer du vilket värde på parametern a som gör att funktionen f(x) uppfyller f(f(x)) = x.

daja skrev:

Hur fungerar spegling egentligen? I fall y=kx+m har vi k värden vems produkt måste vara -1. Varför f^-1(x) skrivs inte genom att invertera nämnaren och täljaren, alltså 2x+3/3x?

Jag förstår om du blir förvirrad av notationen LaTeX ekvation, den är lite missvisande.  Vi skriver ju t.ex. LaTeX ekvation för ett tal x, men det gäller inte för funktioner! Det är alltså inte sant att LaTeX ekvation för alla funktioner LaTeX ekvation.  Tänk istället på LaTeX ekvation som en enda (krånglig) symbol för en viss funktion, inte "f upphöjt till -1".

Om det underlättar så kan vi kalla inversen till f(x) för något annat, så slipper vi den där störiga -1 exponenten. Vi kan kalla inversen för  g(x) till exempel. Inversen fungerar ju som så, att om vi först beräknar y = f(x), så kan vi sedan "få tillbaka" x genom  x = g(y).  Inversen g är liksom "funktionen f baklänges"  :-)

Vi kan ta den linjära funktionen  y = f(x) = kx + m  som exempel. Hur "får vi tillbaka" x om vi vet värdet på y?  Jo, vi löser ut x ur ekvationen y = kx + m!  Det ger  x = (y - m)/k.  Det är alltså vår invers till f(x):

f(x) = kx + m    <-->    g(y) = (y - m)/k

Observera att inversen g(y) är inte samma sak som 1/f(y) = 1/(ky + m) här!  Prova nu att sätta samman funktionen och dess invers, och räkna ut/förenkla  g(f(x)).  Vad får du då? Testa också att rita de två linjerna f(x) och g(x) så ser du kanske hur "speglingen" fungerar rent geometriskt.

Prova sedan att lösa ut x ur din funktion y = f(x) = -3x/(2x +3),  som vi gjorde med kx + m ovan.  Vad får du då?

Hej igen,

Orkade inte vänta tills imorgon! Tack för alla förklaringar, det blev så mycket tydligare smile. Så linjen -1,5 borde inte finnas här egentligen... Och f^-1 är inte 1/f, det ska jag komma ihåg!

Så här blev det:
1. f(x) = kx + m    <-->    g(y) = (y - m)/k
(kx + m- m)/k = x, det blev x, ALLELUJA!

2. Lösa ut x:an ur y = f(x) = -3x/(2x +3). Det tog fruktansvärt tänkekraft bara så att du vet smile, så om du känner en kortare sätt, säg det gärna!

y = -3x/(2x +3)
y(2x +3)=-3x
y(2x +3)+3x=0
2yx+3y+3x=0
/x
2y+3(y/x)+3=0
2y+3=-3y/x
x=-3y/(2y+3) (...46 minuter senare...)

Barnen ser ut så där nu:
https://www.wolframalpha.com/input/?i=y+%3D-3x%2F(2+x+%2B3)+and+x%3D-3y%2F(2y%2B3)

Coolt!

 
roland.nilsson
Medlem

Offline

Registrerad: 2015-09-11
Inlägg: 613

Re: [MA 2/B] Hemska ff(x) oförståliga funktion.

daja skrev:

Så här blev det:
1. f(x) = kx + m    <-->    g(y) = (y - m)/k
(kx + m- m)/k = x, det blev x, ALLELUJA!

Instämmer! smile  Här har du alltså visat att g verkligen är inversen till f.  När vi kombinerar funktionerna g(f(x)) så kommer vi tillbaka till x självt.  Toppen!

daja skrev:

2. Lösa ut x:an ur y = f(x) = -3x/(2x +3). Det tog fruktansvärt tänkekraft bara så att du vet smile, så om du känner en kortare sätt, säg det gärna!

y = -3x/(2x +3)
y(2x +3)=-3x
y(2x +3)+3x=0
2yx+3y+3x=0
...

Du fick rätt svar till slut, heja!  Vet inte riktigt hur du räknade, men jag skulle göra på samma sätt fram till hit. Sedan är det enklast att bryta ut x ur de termer som har x,

x(2y + 3) + 3y = 0

Sedan "flyttar vi över" 3y och delar med (2y + 3),

x(2y + 3) = -3y
x = -3y / (2y + 3)

Klart!

daja skrev:

Barnen ser ut så där nu:
https://www.wolframalpha.com/input/?i=y+%3D-3x%2F(2+x+%2B3)+and+x%3D-3y%2F(2y%2B3)

Coolt!

Vet inte riktigt vad du menar med "barnen", men ja, det där är rätt kurva.  Som du märker får du här tillbaka precis samma funktion när du löser ut x ur y = f(x) !  Därför är denna funktion f sin egen invers.

Geometriskt ser du säkert nu att funktionen är symmetrisk kring diagonalen  y = x.  Med andra ord: om du "vänder på pappret" så x-axeln och y-axeln byter plats, så ser du funktonens invers. Men den grafen ser ju precis likadan ut för just den här funktionen.  Och det är just för att funktionen f är sin egen invers.

Visst är det lite coolt! smile  Såna här funktioner är viktiga i vissa områden inom matematiken, så de har fått ett eget namn, de kallas involutioner.

Senast redigerat av roland.nilsson (2017-02-08 16:53)

 
daja
Medlem

Offline

Registrerad: 2017-01-31
Inlägg: 30

Re: [MA 2/B] Hemska ff(x) oförståliga funktion.

Hej!

Jag vet inte ens var jag ska börja smile. Tack för alla tips, inclusive att "flytta över" 3y!

Det är verkligen, verkligen coolt och inspirerande. Nu förstår jag exakt varför funktionen är sitt eget invers, och vad det betyder. Så involutioner kallas det...

Tack igen och ha en bra kväll!

PS: med barnen menade jag -3x/(2x+3) och hennes syster -3y/(2y+3)

 


Sidfot

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson

Powered by Mattecentrum
 |  Denna sida använder cookies |  Kontakta oss |  Feedback |