Om ekvationen  ska gälla för varje (och inte bara för vissa) så är det
egentligen ingen ekvation utan en identitet och  ska då skrivas med tre parallella - tecken

Dvs säga som . Detta är bara möjligt inte som du skrev

måste koefficienten framför vara lika med noll, utan måste koefficienten framför varje potens  av vara lika med noll. Nollan i högerledet är ingen vanlig nolla utan nollpolynomet.

se https://sv.wikipedia.org/wiki/Polynom  och Det finns ingen enighet om hur graden av nollpolynomet, det vill säga det polynom vars alla koefficienter är 0, skall definieras. Vissa författare föredrar att ...
‎Gradtal och benämningar · ‎Elementära egenskaper · ‎Nollställen · ‎Polynomvärde

Metoden kallas för obestämda koefficientmetoden och har tillämpningar på många andra matematiska problem
se t.ex. http://matmin.kevius.com/partial.php som finns på sidan http://matmin.kevius.com/indexo.php

där även andra matematiska definitioner (förklaras) eller snarare ges.
För full förståelse måste du träna begreppen i sitt rätta sammanhang.

Senast redigerat av bebl (2017-02-03 12:25)

Blir det lättare att förstå om man skriver   ?

Det betyder att -2a-6 = 0, så att koefficienten framför x-termen är 0, och att a^2-9 = 0 så att konstanttermen är 0.

Vilket värde på a får du om du löser ekvationen -2a-6=0? Är det värdet en lösning till ekvationen a^2-9=0? I så fall har du fått fram det värde på a som gör att f(f(x))=x.Om det inte stämmer, finns det inget sådant värde på a.

daja skrev:

Hej,

Den här uppgift har jag kämpat med länge och även efter att jag har kollat olika lösningar på pluggakuten förstår jag fortfarande inte!

"Låt f(x)= ax/(2x+3) och undersök om man kan bestämma talet a så att f(f(x))=x."

Man kommer till slut till a^2-2ax-6x-9=0 och enligt en förklaring som jag läste (och inte förstått :'(...) måste koefficienten framför x vara lika med noll. Det står vidare att ''även konstanten måste vara lika med noll, dvs:
2(a+3) = 0 och 9-a^2 = 0''

Varför skulle vi vilja ha noll? Jag tror att jag förstår inte problemet. Är det någon som orkar förklara den som om jag var en 5-årig?

Stor tack på förhand.

Hej!

Du vill att sambandet (a^2-9) - (2a+6)x = 0 ska gälla för varje tal x som man kan tänka sig.

Till exempel ska det gälla då x=0. Om x=0 så säger sambandet att (a^2-9) = 0; talet a måste alltså vara sådant att a^2 = 9.

Men då måste sambandet vara (2a+6)x = 0, och detta samband ska gälla för varje tal x som man kan tänka sig.

Till exempel ska det gälla då x=1. Om x=1 så säger sambandet att (2a+6) = 0; talet a måste alltså vara sådant att 2a = -6.

Talet a måste alltså ha de två egenskaperna a^2 = 9 och 2a = -6. Vilket tal har båda dessa egenskaper?

P.S. Du kan välja andra värden på x än 0 och 1, men resultaten blir ändå desamma: Talet a måste ha de två egenskaperna a^2 = 9 och 2a = -6.

Senast redigerat av albiki (2017-02-03 13:07)

Om vi samlar ihop x-termerna och konstanterna kan din identitet skrivas som

2(a+3)x + 9 - a^2 = 0

Vänsterledet beskriver en rät linje,  y = k x + m,  med lutningen  k = 2(a+3) och skärningspunkten m = 9 - a^2.  Men högerledet säger att linjen ska vara y = 0, alltså en vågrät linje längs med x-axeln.  För att det ska stämma måste både lutningen k och skärningspunkten m vara noll.  Alltså

2(a+3)  = 0
9 - a^2 = 0

Detta ger bara en möjlig lösning för talet a.  Prova att sätta in det värdet på a i den ursprungliga funktionen, och testa om du verkligen får f(f(x)) = x  !

Fint! 

Det är en ganska finurlig uppgift egentligen.  Om en funktion f(x) uppfyller villkoret f(f(x)) = x  så måste funktionen vara sin egen invers,



eller hur?  Såna funktioner måste vara symmetriska på ett visst sätt.  Kan du se från grafen av din funktion



att den har en viss symmetri?  Och vad är skillnaden när vi jämför med grafen av

  ?

Inte riktigt, men du kanske är inne på rätt spår.  För funktionen  f(x) = kx  så beror det på k-värdet om funktionen är sin egen invers.  Du kan hitta de k-värden som funkar på samma sätt som i uppgiften ovan.

Bra att du följer upp och tittar närmare på uppgiften!  Oftast lär man sig mest då, när man har löst en uppgift men går tillbaka och vrider och vänder på det, provar lite varianter, tar reda på varför det blir som det blir, osv.  Topp!

daja skrev:

Först och framst, jag ser att det finns två definitonsmängder (A) med x-7.5;7;5) och (B) med x-1.5;1;5). (-1.5;1;5) tillhör (-7.5;7;5), (B) borde väl ingå i (A) eller? Jag förstår att vi får en rätt linje med x=-1,5 men inte alla x värden upp till 1,5.

Tänk på att Wolfram Alpha inte ritar hela funktionen (den reella tallinjen är ju oändlig).  Definitionsmängden kan du se från själva uttrycket 3x / (2x + 3), det går bra med vilket x som helst utom  x = -3/2 = -1.5, för just i den punktern händer det nåt med nämnaren, eller hur?

Alpha ritar inte alltid helt rätt heller, så man får se upp! Den lodräta linjen som Wolfram Alpha ritar vid -1.5 ska egentligen inte vara där; funktionen är odefinierad i den punkten, så det finns inga funktionsvärden att rita in i grafen.  Dessutom väljer Alpha olika skalor på axlarna så att funktionen blir "ihoptryckt" och man ser inte symmetrin riktigt.

Här är grafer av de två funktionerna som jag har städat upp lite (med Wolfram Mathematica).  Nu kanske det är lättare att se symmetrin?

daja skrev:

Jag tror att jag har inte riktigt följt med: hur gör vi '''hoppet'' från 2(a+3)x + 9 - a^2 = 0 tills 3x/2x+3? Vad händer med konstanten a? Jag följer inte hur man tänker här!

Ekvationen  2(a+3)x + 9 - a^2 = 0  var ju ekvivalent med ekvationen  f(f(x)) = x .  Så när du löser denna ekvation bestämmer du vilket värde på parametern a som gör att funktionen f(x) uppfyller f(f(x)) = x.

daja skrev:

Hur fungerar spegling egentligen? I fall y=kx+m har vi k värden vems produkt måste vara -1. Varför f^-1(x) skrivs inte genom att invertera nämnaren och täljaren, alltså 2x+3/3x?

Jag förstår om du blir förvirrad av notationen , den är lite missvisande.  Vi skriver ju t.ex. för ett tal x, men det gäller inte för funktioner! Det är alltså inte sant att för alla funktioner .  Tänk istället på som en enda (krånglig) symbol för en viss funktion, inte "f upphöjt till -1".

Om det underlättar så kan vi kalla inversen till f(x) för något annat, så slipper vi den där störiga -1 exponenten. Vi kan kalla inversen för  g(x) till exempel. Inversen fungerar ju som så, att om vi först beräknar y = f(x), så kan vi sedan "få tillbaka" x genom  x = g(y).  Inversen g är liksom "funktionen f baklänges"  :-)

Vi kan ta den linjära funktionen  y = f(x) = kx + m  som exempel. Hur "får vi tillbaka" x om vi vet värdet på y?  Jo, vi löser ut x ur ekvationen y = kx + m!  Det ger  x = (y - m)/k.  Det är alltså vår invers till f(x):

f(x) = kx + m    <-->    g(y) = (y - m)/k

Observera att inversen g(y) är inte samma sak som 1/f(y) = 1/(ky + m) här!  Prova nu att sätta samman funktionen och dess invers, och räkna ut/förenkla  g(f(x)).  Vad får du då? Testa också att rita de två linjerna f(x) och g(x) så ser du kanske hur "speglingen" fungerar rent geometriskt.

Prova sedan att lösa ut x ur din funktion y = f(x) = -3x/(2x +3),  som vi gjorde med kx + m ovan.  Vad får du då?

roland.nilsson skrev:

Bra att du följer upp och tittar närmare på uppgiften!  Oftast lär man sig mest då, när man har löst en uppgift men går tillbaka och vrider och vänder på det, provar lite varianter, tar reda på varför det blir som det blir, osv.  Topp!

daja skrev:

Först och framst, jag ser att det finns två definitonsmängder (A) med x-7.5;7;5) och (B) med x-1.5;1;5). (-1.5;1;5) tillhör (-7.5;7;5), (B) borde väl ingå i (A) eller? Jag förstår att vi får en rätt linje med x=-1,5 men inte alla x värden upp till 1,5.

Tänk på att Wolfram Alpha inte ritar hela funktionen (den reella tallinjen är ju oändlig).  Definitionsmängden kan du se från själva uttrycket 3x / (2x + 3), det går bra med vilket x som helst utom  x = -3/2 = -1.5, för just i den punktern händer det nåt med nämnaren, eller hur?

Alpha ritar inte alltid helt rätt heller, så man får se upp! Den lodräta linjen som Wolfram Alpha ritar vid -1.5 ska egentligen inte vara där; funktionen är odefinierad i den punkten, så det finns inga funktionsvärden att rita in i grafen.  Dessutom väljer Alpha olika skalor på axlarna så att funktionen blir "ihoptryckt" och man ser inte symmetrin riktigt.

Här är grafer av de två funktionerna som jag har städat upp lite (med Wolfram Mathematica).  Nu kanske det är lättare att se symmetrin?

http://i67.tinypic.com/2iaud5k.jpg

daja skrev:

Jag tror att jag har inte riktigt följt med: hur gör vi '''hoppet'' från 2(a+3)x + 9 - a^2 = 0 tills 3x/2x+3? Vad händer med konstanten a? Jag följer inte hur man tänker här!

Ekvationen  2(a+3)x + 9 - a^2 = 0  var ju ekvivalent med ekvationen  f(f(x)) = x .  Så när du löser denna ekvation bestämmer du vilket värde på parametern a som gör att funktionen f(x) uppfyller f(f(x)) = x.

daja skrev:

Hur fungerar spegling egentligen? I fall y=kx+m har vi k värden vems produkt måste vara -1. Varför f^-1(x) skrivs inte genom att invertera nämnaren och täljaren, alltså 2x+3/3x?

Jag förstår om du blir förvirrad av notationen , den är lite missvisande.  Vi skriver ju t.ex. för ett tal x, men det gäller inte för funktioner! Det är alltså inte sant att för alla funktioner .  Tänk istället på som en enda (krånglig) symbol för en viss funktion, inte "f upphöjt till -1".

Om det underlättar så kan vi kalla inversen till f(x) för något annat, så slipper vi den där störiga -1 exponenten. Vi kan kalla inversen för  g(x) till exempel. Inversen fungerar ju som så, att om vi först beräknar y = f(x), så kan vi sedan "få tillbaka" x genom  x = g(y).  Inversen g är liksom "funktionen f baklänges"  :-)

Vi kan ta den linjära funktionen  y = f(x) = kx + m  som exempel. Hur "får vi tillbaka" x om vi vet värdet på y?  Jo, vi löser ut x ur ekvationen y = kx + m!  Det ger  x = (y - m)/k.  Det är alltså vår invers till f(x):

f(x) = kx + m    <-->    g(y) = (y - m)/k

Observera att inversen g(y) är inte samma sak som 1/f(y) = 1/(ky + m) här!  Prova nu att sätta samman funktionen och dess invers, och räkna ut/förenkla  g(f(x)).  Vad får du då? Testa också att rita de två linjerna f(x) och g(x) så ser du kanske hur "speglingen" fungerar rent geometriskt.

Prova sedan att lösa ut x ur din funktion y = f(x) = -3x/(2x +3),  som vi gjorde med kx + m ovan.  Vad får du då?

Hej igen,

Orkade inte vänta tills imorgon! Tack för alla förklaringar, det blev så mycket tydligare . Så linjen -1,5 borde inte finnas här egentligen... Och f^-1 är inte 1/f, det ska jag komma ihåg!

Så här blev det:
1. f(x) = kx + m    <-->    g(y) = (y - m)/k
(kx + m- m)/k = x, det blev x, ALLELUJA!

2. Lösa ut x:an ur y = f(x) = -3x/(2x +3). Det tog fruktansvärt tänkekraft bara så att du vet , så om du känner en kortare sätt, säg det gärna!

y = -3x/(2x +3)
y(2x +3)=-3x
y(2x +3)+3x=0
2yx+3y+3x=0
/x
2y+3(y/x)+3=0
2y+3=-3y/x
x=-3y/(2y+3) (...46 minuter senare...)

Barnen ser ut så där nu:
https://www.wolframalpha.com/input/?i=y+%3D-3x%2F(2+x+%2B3)+and+x%3D-3y%2F(2y%2B3)

Coolt!

Hej!

Jag vet inte ens var jag ska börja . Tack för alla tips, inclusive att "flytta över" 3y!

Det är verkligen, verkligen coolt och inspirerande. Nu förstår jag exakt varför funktionen är sitt eget invers, och vad det betyder. Så involutioner kallas det...

Tack igen och ha en bra kväll!

PS: med barnen menade jag -3x/(2x+3) och hennes syster -3y/(2y+3)