Meddelande

Du befinner dig just nu på en äldre version av Pluggakuten, gamla.pluggakuten.se. Nya Pluggakuten lanserades den 6 februari 2017 och du finner forumet på www.pluggakuten.se.

På gamla.pluggakuten.se kan du fortfarande läsa frågorna och svaren som ställts, men du kan inte skapa ett nytt konto eller nya trådar. Är du redan medlem kan du däremot fortfarande logga in och svara i befintliga trådar. Nya frågor och nytt konto skapar du på det nya forumet, välkommen dit!

[MA 2/B] Andragradspolynom

daja
Medlem

Offline

Registrerad: 2017-01-31
Inlägg: 30

[MA 2/B] Andragradspolynom

Hej!
Det är min första fråga men jag har redan hittat många svar på pluggakuten smile

Ett andragradspolynom p(x) har nollställena 1 och 4 och p(0)=-2. Är det sant att p(0) = p(6)?

Eftersom vi har 3 punkter (1;0) (0;-2) (4;0) på kurvan, vill jag börja med att söka k igenom ∆y/∆x. Jag har kollat svaret, som är -2 för k.
Formeln (0-2)/(4-0) fungerar, (-2/4), men inte (-2-0)/(0-1) eller (0-0)/(4-1)! sad!

Kan man inte räkna ut k men vilka punkter på kurvan som helst?

 
Yngve
Medlem

Offline

Registrerad: 2015-09-13
Inlägg: 2941

Re: [MA 2/B] Andragradspolynom

daja skrev:

Hej!
Det är min första fråga men jag har redan hittat många svar på pluggakuten smile

Ett andragradspolynom p(x) har nollställena 1 och 4 och p(0)=-2. Är det sant att p(0) = p(6)?

Hej och välkommen till Pluggakuten!

Problemet är lätt att lösa om du vet vad symmetrilinjen är och att nollställena ligger symmetriskt kring den.

Senast redigerat av Yngve (2017-01-31 09:25)


Nothing else mathers
 
Yngve
Medlem

Offline

Registrerad: 2015-09-13
Inlägg: 2941

Re: [MA 2/B] Andragradspolynom

daja skrev:

Eftersom vi har 3 punkter (1;0) (0;-2) (4;0) på kurvan, vill jag börja med att söka k igenom ∆y/∆x. Jag har kollat svaret, som är -2 för k.
Formeln (0-2)/(4-0) fungerar, (-2/4), men inte (-2-0)/(0-1) eller (0-0)/(4-1)! sad!

Kan man inte räkna ut k men vilka punkter på kurvan som helst?

Jag tror att du blandar ihop det med ett linjärt samband y = kx + m.

Ett andragradspolynom har formen p(x) = ax^2 + bx + c och det har inget "k-värde" som kan beräknas med hjälp av  ∆y/∆x.

Senast redigerat av Yngve (2017-01-31 09:28)


Nothing else mathers
 
daja
Medlem

Offline

Registrerad: 2017-01-31
Inlägg: 30

Re: [MA 2/B] Andragradspolynom

Ah ok, jag började att misstänka att jag blandade ihop något.
Just det, andragrad funktioner har inga k värde...

Du pratar om symmetrilinjen, hur använder man det för att lösa ekvationen?

 
Yngve
Medlem

Offline

Registrerad: 2015-09-13
Inlägg: 2941

Re: [MA 2/B] Andragradspolynom

Som sagt, metoden med symmetrilimjen är betydligt enklare, men du har rätt i att det går att bestämma p(x) fullständigt med hjälp av tre punkter på kurvan:

Metod 1:
Eftersom du i detta fallet känner till nollställena så kan du enkelt bestämma p(x).

p(x) har nollställen vid x = 1 och x = 4. Det betyder att p(x) kan faktoriseras med faktorerna (x-1) och (x-4) och du kan därför direkt sätta:
p(x) = a*(x-1)(x-4).
a kan sedan enkelt bestämmas med hjälp av sambandet p(0) = -2.

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

Metod 2, (med tre godtyckliga punkter på kurvan)

Ansätt p(x) = ax^2 + bx + c, bestäm a, b och c:

Punkt 1: (1; 0) ger att
0 = a*1^2 + b*1 + c, dvs a + b + c = 0

Punkt 2: (0; -2) ger att
-2 = a*0^2 + b*0 + c, dvs c = -2

Punkt 3: (4; 0) ger att
0 = a*4^2 + b*4 + c, dvs 16a + 4b + c = 0

Du har alltså ett ekvationssystem med 3 ekvatiober och 3 obekanta a, b och c. Då kan du lösa det och få fram värden på a, b och c för att bestämma p(x) fullständigt.

Senast redigerat av Yngve (2017-01-31 10:21)


Nothing else mathers
 
Yngve
Medlem

Offline

Registrerad: 2015-09-13
Inlägg: 2941

Re: [MA 2/B] Andragradspolynom

Symmetrilinjen är den linje där polynomet har sitt lokala max- eller minvärde.

Om du tittar på kurvan så ser du att den är symmetrisk kring symmetrilinjen, dvs om du viker papperet i symmetrilinjen så sammanfaller kurvan på de två delarna med varandra exakt.

Det betyder alltså att polynomets värden ligger symmetriskt från symmetrilinjen.
Speciellt ligger nollställena symmetriskt kring symmetrilinjen och därför ser du på en gång att symmetrilinjen för p(x) är x = 2,5 (mitt emellan x=1 och x=4.

Fråga: Ligger x=0 och x=6 lika långt från symmetrilinjen?

Du kan läsa mer om symmetrilinjen här (scrolla ner en bit):
http://www.matteboken.se/lektioner/matt … ekvationer

Senast redigerat av Yngve (2017-01-31 10:11)


Nothing else mathers
 
daja
Medlem

Offline

Registrerad: 2017-01-31
Inlägg: 30

Re: [MA 2/B] Andragradspolynom

Tack, jag har aldrig förstått vad man behövde symmetrilinjen för! Nu vet jag smile

Senast redigerat av daja (2017-01-31 10:51)

 
Yngve
Medlem

Offline

Registrerad: 2015-09-13
Inlägg: 2941

Re: [MA 2/B] Andragradspolynom

En bra fördjupning för ökad förståelse är att jämföra detta med PQ-formelns lösning av en andragradsekvation
LaTeX ekvation

LaTeX ekvation

Symmetrilinjen ligger alltså vid LaTeX ekvation

Och nollställena ligger symmetriskt kring symmetrilinjen, på avstånden LaTeX ekvation från den.

Senast redigerat av Yngve (2017-01-31 11:34)


Nothing else mathers
 
daja
Medlem

Offline

Registrerad: 2017-01-31
Inlägg: 30

Re: [MA 2/B] Andragradspolynom

Jag är alltid imponerad av folk som kan X-ray en ekvation och fatta exakt vad innehållet betyder.
Tack!

 
Yngve
Medlem

Offline

Registrerad: 2015-09-13
Inlägg: 2941

Re: [MA 2/B] Andragradspolynom

daja skrev:

Jag är alltid imponerad av folk som kan X-ray en ekvation och fatta exakt vad innehållet betyder.
Tack!

Och nu är du på god väg att bli en av dem! smile


Nothing else mathers
 
daja
Medlem

Offline

Registrerad: 2017-01-31
Inlägg: 30

Re: [MA 2/B] Andragradspolynom

Hej!
Jag har funderat på den här symmetrilinjen. Varför har vi den vi -p/2? Är minust tecken där för att den ''speglar'' något?
Tack på förhand!

 
Yngve
Medlem

Offline

Registrerad: 2015-09-13
Inlägg: 2941

Re: [MA 2/B] Andragradspolynom

daja skrev:

Hej!
Jag har funderat på den här symmetrilinjen. Varför har vi den vi -p/2? Är minust tecken där för att den ''speglar'' något?
Tack på förhand!

Eftersom symmetrilinjen med nödvändighet går genom polynomets min- eller maxpunkt (annars vore grafen inte symmetrisk kring linjen) så kan symmetrlinjens placering fås fram genom att hitta polynomets extremvärde.

Om p(x) = x^2 + px + q deriveras så får vi p'(x) = 2x + p.
Ekvationen p'(x) = 0 ger nu att 2x + p = 0, dvs x = -p/2.

Dvs polynomets extremvärde (och därmed symmetrilinjen) återfinns vid x = -p/2.

~~~~~~~~~~

Ett annat sätt att komma fram till att symmetrilinjen ligger just vid x = -p/2 är att härleda PQ-formeln genom kvadratkomplettering av p(x):

LaTeX ekvation

Ekvationen p(x) = 0 kan då skrivas
LaTeX ekvation

LaTeX ekvation

LaTeX ekvation

LaTeX ekvation

Senast redigerat av Yngve (2017-02-01 13:03)


Nothing else mathers
 
daja
Medlem

Offline

Registrerad: 2017-01-31
Inlägg: 30

Re: [MA 2/B] Andragradspolynom

Tack o förlåt för sent svar! Intressant, jag måste nog återkomma när jag har lärt mig derivering...
Det verkar att det hänger ihop iaf, spännande!

 
Yngve
Medlem

Offline

Registrerad: 2015-09-13
Inlägg: 2941

Re: [MA 2/B] Andragradspolynom

daja skrev:

Tack o förlåt för sent svar! Intressant, jag måste nog återkomma när jag har lärt mig derivering...
Det verkar att det hänger ihop iaf, spännande!

Ojdå, jag tänkte inte på att man inte läser om derivata förrän i Matte 3.
Men kul att du är intresserad, då har du en bra möjlighet att lära dig mer smile


Nothing else mathers
 
daja
Medlem

Offline

Registrerad: 2017-01-31
Inlägg: 30

Re: [MA 2/B] Andragradspolynom

Får jag fråga en sista sak om det? I lösning formeln med delta (-b-roten ur delad med 2a, med delta=b^2-4ac), -b/2 är nu symmetrilinjen och delta variationen kring det? Varför delta formeln kräver inte att a-koefficienten förenklas först?

 
Smaragdalena
Medlem

Offline

Registrerad: 2012-02-02
Inlägg: 14676

Re: [MA 2/B] Andragradspolynom

Är det den här formeln du pratar om:
https://sv.wikipedia.org/wiki/Andragrad … ngsformeln

Det är precis samma formel som pq-formeln, förutom att man bakar i divisionen med koefficienten a i själva formeln i stället för att göra det i två steg.

 
daja
Medlem

Offline

Registrerad: 2017-01-31
Inlägg: 30

Re: [MA 2/B] Andragradspolynom

Ah men just det. Nu är det solklart!

 


Sidfot

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson

Powered by Mattecentrum
 |  Denna sida använder cookies |  Kontakta oss |  Feedback |