Meddelande

Du befinner dig just nu på en äldre version av Pluggakuten, gamla.pluggakuten.se. Nya Pluggakuten lanserades den 6 februari 2017 och du finner forumet på www.pluggakuten.se.

På gamla.pluggakuten.se kan du fortfarande läsa frågorna och svaren som ställts, men du kan inte skapa ett nytt konto eller nya trådar. Är du redan medlem kan du däremot fortfarande logga in och svara i befintliga trådar. Nya frågor och nytt konto skapar du på det nya forumet, välkommen dit!

[HSM]problemlösning-Pinkodsproblem

viktor01
Medlem

Offline

Registrerad: 2017-01-25
Inlägg: 5

[HSM]problemlösning-Pinkodsproblem

Hej , Jag försöker att hitta svaret och blivit förvirrad.

Ni ska välja en fyrsiffrig pinkod. Ni får bara använda er av ensiffriga och tvåsiffriga primtal. Till exempel kan primtalen 2, 5 och 17 användas till att bilda koderna: 2517, 5217, 2175, 5172, 1725 eller 1752. Primtalet väljs en gång i er kod.
Hur många olika möjliga koder finns under dessa förutsättningar?

 
joculator
Medlem

Offline

Registrerad: 2012-09-12
Inlägg: 3920

Re: [HSM]problemlösning-Pinkodsproblem

Välkommen till PA!

Hur långt har du kommit själv?
Jag kan tänka mig att det är bra att veta hur många ensiffrifa primtal som finns (4 st) och hur många tvåsiffriga primtal som finns (21st).
Sen är det kombinatorik.

Det exemplet de gav med 2,5,17:
17 kan stå på 3 ställen
17..
.17.
..17

För varje position kan de övriga talen (2,5) stå på 2 olika sätt   (2,5) eller (5,2)
Så då bli antalet kombinationer
3*2=6

Nu var ju det enkelt, testa att med fler ensiffriga. Tex 2,3,5,17
Hur blir det då? Ser du några mönster?

Tills slut blir det nog enklast att bryta ner problemet i
0 st tvåsiffriga primtal (och resten ensiffriga)
1 st tvåsiffriga primtal (och resten ensiffriga)
2 st tvåsiffriga primtal (och resten ensiffriga)

Hjälper det dig?

Senast redigerat av joculator (2017-01-25 10:19)

 
viktor01
Medlem

Offline

Registrerad: 2017-01-25
Inlägg: 5

Re: [HSM]problemlösning-Pinkodsproblem

Tack för svaret!

Jag har tänkt samma på att det är 4 ensiffriga och 21 två siffriga.  Dem två siffriga kan ligga i början ,mitten eller slutat av den fyrsiffriga talet, vilken blir 3 former. och de två ensiffriga på varje har två platser som blir 6.

Jag kom på detta men fortfarande kan inte räkna hur många möjliga koder kan finnas med alla en siffriga och två siffriga primtal!

 
joculator
Medlem

Offline

Registrerad: 2012-09-12
Inlägg: 3920

Re: [HSM]problemlösning-Pinkodsproblem

Om vi tar exemplet med 2 tvåsiffriga.

Det första primtalet kan vara ett av 21 tal. Alltså 21 möjligheter.
Då kan det andra primtalet bara vara ett av 20 tal, vilket ger totalt 21*20=420 möjligheter.

Gör likadant med 'alla ensiffriga' (lätt) och '2 ensiffriga och ett tvåsiffrigt' (lite svårare)

Addera alla dina resultat.


Visa vad du gör om du behöver mer hjälp. Det blir lättare att hjälpa om vi ser vad du förstår/kan.
Tex: Hur många kombinationer får du med 4 ensiffriga primtal (om varje tal bara får finnas en gång)?

 
mrf
Medlem

Offline

Registrerad: 2008-12-04
Inlägg: 862

Re: [HSM]problemlösning-Pinkodsproblem

En ytterligare komplikation är att de tre primtalen t.ex. kan vara 2, 3, och 23

 
joculator
Medlem

Offline

Registrerad: 2012-09-12
Inlägg: 3920

Re: [HSM]problemlösning-Pinkodsproblem

mrf skrev:

En ytterligare komplikation är att de tre primtalen t.ex. kan vara 2, 3, och 23

Ja, det borde man egentligen också ta hänsyn till. Jag bara förutsatte att uppgiften inte gjorde det.
Men det här är ju HSM så det har de kanske gjort. Då blir det svårare.

------
Jobbigt exempel: koden 2373 är ju bara EN kod men kan egentligen bestå av
2,3,73
2,37,3
23,73
23,7,3

Senast redigerat av joculator (2017-01-25 14:01)

 
viktor01
Medlem

Offline

Registrerad: 2017-01-25
Inlägg: 5

Re: [HSM]problemlösning-Pinkodsproblem

4 en siffriga : varje har 6 möjligheter med de andra ensiffriga  som blir 18 . till ex.   2 och 3 ...6möjligheter
                                                                                                                         2 och 5 ....6
                                                                                                                         2 och  7.....6
då blir varje ensiffrig har 18 möjligheter. då varje ensiffrig som är 18 mö med 21 två siffriga blir 378 möjligheter.

4 ensiffriga som har 378 mö blir    4. 374= 1512 möjligheter totalt.

Jag vet inte hur kan jag förklara bättre men jag fick det svaret!

 
joculator
Medlem

Offline

Registrerad: 2012-09-12
Inlägg: 3920

Re: [HSM]problemlösning-Pinkodsproblem

Jag förstår inte vad du skriver.
Någon annan?

 
Smaragdalena
Medlem

Offline

Registrerad: 2012-02-02
Inlägg: 14676

Re: [HSM]problemlösning-Pinkodsproblem

viktor01 skrev:

4 en siffriga : varje har 6 möjligheter med de andra ensiffriga  som blir 18 . till ex.   2 och 3 ...6möjligheter
                                                                                                                         2 och 5 ....6
                                                                                                                         2 och  7.....6
då blir varje ensiffrig har 18 möjligheter. då varje ensiffrig som är 18 mö med 21 två siffriga blir 378 möjligheter.

4 ensiffriga som har 378 mö blir    4. 374= 1512 möjligheter totalt.

Jag vet inte hur kan jag förklara bättre men jag fick det svaret!

Försöker du säga att man kan göra 1512 olika koder med 4 ensiffriga primtal? Jag hittar bara 24.

 
_Elo_
Medlem

Offline

Registrerad: 2016-05-28
Inlägg: 250

Re: [HSM]problemlösning-Pinkodsproblem

Känner att min kombinatorik är lite ringrostig så någon får gärna rätta mig om jag är ute och cyklar men jag tänker så här:

Det blir lite komplicerat eftersom de fyra primtalen 23, 37, 53, och 73 har gemensamma siffror som de ensiffriga primtalen, men om vi delar upp problemet i 3 steg kanske det blir lättare att se:

1) Det finns som sagt 24 st sätt att kombinera de ensiffriga primtalen på.

2) Om vi tittar på möjligheterna att kombinera ett tvåsiffrigt primtal(21 st) med två ensiffriga primtal(4 st) får vi(eftersom varje tvåsiffrigt primtal kan placeras på 3 olika sätt i koden):
LaTeX ekvation
Av dessa är det dock 24 kombinationer som redan använts av de 24 entalskombinationerna(då t ex entalskombinationen 2 , 3 , 7 , 5 ger samma kodkombination som talen 23 , 7 , 5 samt talen 2 , 37 , 5 osv..).

3) När det gäller att kombinera två stycken tvåsiffriga primtal får vi:
LaTeX ekvation
Av dessa är dock 12 kombinationer redan använda punkt 2 (då t ex kombinationen 23 , 3 , 7 ger samma kod som kombinationen 23 , 37 osv..).

 
SvanteR
Medlem

Offline

Registrerad: 2015-09-24
Inlägg: 626

Re: [HSM]problemlösning-Pinkodsproblem

Den här var ganska knepig, med många steg och jag kan säkert ha missat något, men här är min lösning. Jag använder mig av principen om inklusion/exklusion. Jag vet inte om ni har gått igenom den, men utan den tycker jag att det här problemet blir svårlöst. Den finns beskriven här: https://sv.wikipedia.org/wiki/Principen … /exklusion

Jag definierar tre mängder:

A = pinkoder kan kan bilda av fyra ensiffriga primtal

B = pinkoder kan kan bilda av två ensiffriga primtal och ett tvåsiffrigt primtal

C = pinkoder kan kan bilda av två tvåsiffriga primtal

Nu ska vi beräkna antalet element i mängderna (dvs mängdernas kardinalitet).

LaTeX ekvation

LaTeX ekvation
Att jag subtraherar 4 beror på att kombinationer av typen "2 och 3 och 23" respektive "23 och 2 och 3" ger samma pinkod (2323). Jag måste alltså kompensera för detta. Det finns fyra sådana fall, pga att det finns fyra tvåsiffriga primtal som kan bildas av de ensiffriga primtalen (23, 37, 53 och 73 )

LaTeX ekvation

Sedan måste vi beräkna snittens kardinalitet. Jag får:

LaTeX ekvation

För att komma fram till detta använder jag också principen om inklusion/exklusion. En pinkod i snittet av A och B måste bildas av en av 23, 37, 53 och 73 (koder i B med andra tvåsiffriga primtal kan inte ingå i A) och två ensiffriga primtal som inte ingår i det tvåsiffriga primtalet (för annars dubbleras de ensiffriga och då kan den inte ingå i A). Då kan jag bilda fyra nya mängder:

D = pinkoder som kan bildas av 23, 5 och 7.
E = pinkoder som kan bildas av 37, 2 och 5.
F = pinkoder som kan bildas av 53, 2 och 7.
G = pinkoder som kan bildas av 73, 2 och 5.

LaTeX ekvation

Eftersom man kan ordna de två ensiffriga talen på två sätt och sedan sätta in det tvåsiffriga på tre ställen (före mellan och efter). Men jag kan inte stanna nu, eftersom till exempel 2, 37 och 5 ger samma pinkod som 23, 7 och 5. Jag måste beräkna snitten. Jag får att

LaTeX ekvation

Eftersom D innehåller 23 och E 37 kan jag skriva koderna i snittet som 237, och sedan placera 5 först eller sist. Det blir två koder.

Med liknande resonemang blir

LaTeX ekvation

Alla andra snitt mellan D, E, F, G blir 0 (jag kan förklara varför om någon undrar). Då kan man beräkna kardinaliteten av unionen enligt ovan.


LaTeX ekvation
Pinkoderna i C bildas av två tvåsiffriga primtal. Alla koder som innehåller något annat tvåsiffrigt primtal än 23, 37, 53 och 73 kan inte ingå i A, eftersom de då innehåller andra siffror än 2, 3, 5, 7. Men de koder som bildas genom att man kombinerar 23, 37, 53 och 73 kommer alltid att innehålla två treor, så de kan inte heller ingå i A. Alltså är snittet tomt.

LaTeX ekvation

Pinkoderna i C bildas av två tvåsiffriga primtal. Alla koder som bildas av att man tar två tal som inte är någon av 23, 37, 53 och 73 kan inte ingå i B. Om man däremot kombinerar två av 23, 37, 53 och 73 eller kombinerar  en av 23, 37, 53 och 73 med en av de 17 andra tvåsiffriga primtalen får man tal som kan ingå i B.

LaTeX ekvation

Följer av att LaTeX ekvation

Nu kan vi beräkna kardinaliteten av unionen av mängderna:

LaTeX ekvation

Som sagt, det är många steg och det finns stor risk att jag missat något. Det skulle vara intressant att veta vad andra tycker, och vad facit är!

Senast redigerat av SvanteR (2017-01-27 09:01)

 
joculator
Medlem

Offline

Registrerad: 2012-09-12
Inlägg: 3920

Re: [HSM]problemlösning-Pinkodsproblem

hmmm, jag har 'programmerat' lite och fick svaret till 963.
Jag kan såklart lista talen men vad hjälper det när jag inte kan hämföra med dina tal.
----------------
Jag har helt enkelt 'listat' alla tal mellan 1111 och 9999 (och struntat i alla nollor).
Låt oss kalla siffrorna i talen för A,B,C,D
Sedan har jag haft en del tester.
1.  är alla 4 siffrorna olika och primtal        24st
2.  är A<>B och A,B,CD primtal                252st
3.  är A<>D och A,BC,D primtal                252st
4.  är C<>D och AB,C,D primtal                252st   
5.  är AB<>CD och AB,CD primtal             420st

Sedan har jag gjort en 'OR' mellan alla testerna vilket gör att alla dubletter försvinner.
Till slut har jag bara räknat.

Om vi t.ex tittar på 2373 så kommer flera tester ge 'sant'. Men 2373 kommer ändå bara räknas en gång pga av OR.

Jag ser inte riktigt var detta skulle kunna gå fel, men det är såklart fullt möjligt.
Det ger inte en matematisk lösning men kanske ett facit?

 
Henrik E
Medlem

Offline

Registrerad: 2015-09-22
Inlägg: 3189

Re: [HSM]problemlösning-Pinkodsproblem

Jag programmerade och fick 958. Minst ett av programmen räknar alltså fel ...

 
SvanteR
Medlem

Offline

Registrerad: 2015-09-24
Inlägg: 626

Re: [HSM]problemlösning-Pinkodsproblem

Nu har jag också räknat dem explicit och hittat 963 pinkoder. Det är uppenbart att min lösning ovan är felaktig. Jag ska se om jag orkar rätta den.

Men tills vidare kan jag bara konstatera att detta var en ganska svår uppgift. Hur många hade fixat den med papper och penna på en tenta?

 
Henrik E
Medlem

Offline

Registrerad: 2015-09-22
Inlägg: 3189

Re: [HSM]problemlösning-Pinkodsproblem

Retfullt att jag fick fem färre än ni. Programmet ser rätt ut ...

 
viktor01
Medlem

Offline

Registrerad: 2017-01-25
Inlägg: 5

Re: [HSM]problemlösning-Pinkodsproblem

Jag kom på det

Eratosthenes såll

2  3  5  7  11  13  17  19  23  29  31  37  41
43  47  53  59  61  67  71  73  79  83  89  97

4 ensiffriga         (ES)
21 tvåsiffriga      (TS)

ES   ES   ES   ES         4.3.2.1 = 4i =24

ES   ES    TS               4. 3.21 = 252

ES   T S    ES              4.21.3 =252

TS    ES     ES             21.4.3 =252

TS        TS    21.20= 420


                                 
Summa möjligheter :

24 + (252.3)+ 420= 1200  möjligheter

 
Smaragdalena
Medlem

Offline

Registrerad: 2012-02-02
Inlägg: 14676

Re: [HSM]problemlösning-Pinkodsproblem

Men då har du t ex räknat med 2373 fyra gånger!

 


Sidfot

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson

Powered by Mattecentrum
 |  Denna sida använder cookies |  Kontakta oss |  Feedback |