Pluggakuten.se / Forum / Högskolematematik / [HSM] Bestäm tangeringspunkten

Idil M · 2017-01-24 07:34

Jag skulle behöva hjälp med en fråga inom analytisk geometri som jag precis börjat med.

Visa att planet x+y+z-5 = 0 tangerar sfären
$LaTeX ekvation$

Bestäm tangeringspunkten

Vad jag har förstått så ska man börja med att kvadratkomplettera och genom det få sfärens medelpunkt och radie.
Efter kvadrat komplettering får jag
$LaTeX ekvation$

Sen kommer jag inte längre

Henrik E · 2017-01-24 08:07

Du har räknat fel på konstanttermen. Efter korrigering, avläs vad sfärens radie är. Starta i centrum och gå så långt i planets normalriktning, där är tangeringspunkten. Kolla slutligen att den ligger på planet.

Idil M · 2017-01-24 08:51

är inte radien 3? eller ska man bryta ur parenteserna så det blir 1+4+1+3=9 ?

Henrik E · 2017-01-24 09:33

Har du rättat räknefelet? x^2+y^2+z^2=R^2 är en sfär med radien R.

Yngve · 2017-01-24 10:05

Utveckla kvadratuttrycket
$LaTeX ekvation$
och jämför med originaluttrycket
$LaTeX ekvation$

Vad måste du lägga till eller dra ifrån kvadratuttrycket för att de ska vara identiska?

Senast redigerat av Yngve (2017-01-24 10:06)

albiki · 2017-01-24 10:21

Idil M skrev:
Jag skulle behöva hjälp med en fråga inom analytisk geometri som jag precis börjat med.

Visa att planet x+y+z-5 = 0 tangerar sfären
$LaTeX ekvation$

Bestäm tangeringspunkten

Vad jag har förstått så ska man börja med att kvadratkomplettera och genom det få sfärens medelpunkt och radie.
Efter kvadrat komplettering får jag
$LaTeX ekvation$

Sen kommer jag inte längre

Kvadratkomplettering visar att det rör sig om en sfär vars radie är RotenUr(3) och vars centrum är punkten (1,2,-1).

(x-1)^2 + (y-2)^2 + (z+1)^2 = 3.

Inför sfäriska koordinater

x = 1 + RotenUr(3)sin(u)cos(v)
y = 2 + RotenUr(3)sin(u)sin(v)
z = -1 + RotenUr(3)cos(u),

där parametrarna är sådana att -pi/2 < u < pi/2 och 0 < v < 2pi.
Visa att det finns parametervärden (u,v) som är sådana att den motsvarande punkten (x,y,z) uppfyller planets ekvation.

Yngve · 2017-01-24 10:27

albiki skrev:
Kvadratkomplettering visar att det rör sig om en sfär vars radie är RotenUr(3) och vars centrum är punkten (1,2,-1).

(x-1)^2 + (y-2)^2 + (z+1)^2 = 3.

Inför sfäriska koordinater

x = 1 + RotenUr(3)sin(u)cos(v)
y = 2 + RotenUr(3)sin(u)sin(v)
z = -1 + RotenUr(3)cos(u),

där parametrarna är sådana att -pi/2 < u < pi/2 och 0 < v < 2pi.
Visa att det finns parametervärden (u,v) som är sådana att den motsvarande punkten (x,y,z) uppfyller planets ekvation.

Men det räcker väl egentligen inte för att lösa uppgiften?

Man måste väl isåfall visa att det endast finns en uppsättning (u, v) som uppfyller planets ekvation?

Dvs att planet tangerar sfären och inte skär'en?

Senast redigerat av Yngve (2017-01-24 10:29)

Henrik E · 2017-01-24 11:14

Dessutom måste man med albikis metod gissa värden på båda vinklarna.

Idil M · 2017-01-24 13:28

Yngve skrev:
Utveckla kvadratuttrycket
$LaTeX ekvation$
och jämför med originaluttrycket
$LaTeX ekvation$

Vad måste du lägga till eller dra ifrån kvadratuttrycket för att de ska vara identiska?

Om man drar ifrån 3 blir väl båda lika ?

Smaragdalena · 2017-01-24 13:31

Utveckla den övre raden, så får vi se!

Guggle · 2017-01-25 07:58

För att krångla till det ytterligare ger jag följande lysande förslag:

Låt

$http://latex.codecogs.com/gif.latex?u%28x%2Cy%2Cz%29%3D%28x-1%29%5E2&plus;%28y-2%29%5E2&plus;%28z&plus;1%29%5E2$

varje nivåyta till u har en normalriktning given av

$http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cnabla%20u%3D%282x-2%2C2y-4%2C2z&plus;2%29$

Studera normalvektorn till det givna planet (x+y+z-5=0), låt t.ex. n= (t,t,t) och hitta det t som uppfyller planets ekvation samtidigt som normalvektorn är parallell gradienten. Verifiera att detta t också ger oss en punkt (x,y,z) på nivåytan u=3

Senast redigerat av Guggle (2017-01-25 08:00)

Idil M · 2017-01-25 14:46

Smaragdalena skrev:
Utveckla den övre raden, så får vi se!

den övre raden blir $LaTeX ekvation$

Smaragdalena · 2017-01-25 15:54

Idil M skrev:
Smaragdalena skrev:
Utveckla den övre raden, så får vi se!
den övre raden blir $LaTeX ekvation$

Och vad blir den om du räknar ihop konstanttermerna?
Alla termer med x y och z i är ju identiska.

Senast redigerat av Smaragdalena (2017-01-25 15:56)

Idil M · 2017-01-26 04:42

Smaragdalena skrev:
Idil M skrev:
Smaragdalena skrev:
Utveckla den övre raden, så får vi se!
den övre raden blir $LaTeX ekvation$
Och vad blir den om du räknar ihop konstanttermerna?
Alla termer med x y och z i är ju identiska.

Konstanttermerna blir ju 6 om man räknar ihop

Yngve · 2017-01-26 05:56

Idil M skrev:
Smaragdalena skrev:
Idil M skrev:

den övre raden blir $LaTeX ekvation$
Och vad blir den om du räknar ihop konstanttermerna?
Alla termer med x y och z i är ju identiska.
Konstanttermerna blir ju 6 om man räknar ihop

Ja, och vad måste du då alltså dra ifrån ditt kvadratuttryck för att det ska vara identiskt med originaluttrycket?

Idil M · 2017-01-26 09:21

man måste väl dra ifrån 3? då den ena har konstanttermen 6 och den andra 3?

Smaragdalena · 2017-01-26 09:27

Idil M skrev:
man måste väl dra ifrån 3? då den ena har konstanttermen 6 och den andra 3?

Just det - men i ditt förstainlägg skrev du +3, inte -3.

Meddelande

[HSM] Bestäm tangeringspunkten

[HSM] Bestäm tangeringspunkten

Re: [HSM] Bestäm tangeringspunkten

Re: [HSM] Bestäm tangeringspunkten

Re: [HSM] Bestäm tangeringspunkten

Re: [HSM] Bestäm tangeringspunkten

Re: [HSM] Bestäm tangeringspunkten

Idil M skrev:

Re: [HSM] Bestäm tangeringspunkten

albiki skrev:

Re: [HSM] Bestäm tangeringspunkten

Re: [HSM] Bestäm tangeringspunkten

Yngve skrev:

Re: [HSM] Bestäm tangeringspunkten

Re: [HSM] Bestäm tangeringspunkten

Re: [HSM] Bestäm tangeringspunkten

Smaragdalena skrev:

Re: [HSM] Bestäm tangeringspunkten

Idil M skrev:

Smaragdalena skrev:

Re: [HSM] Bestäm tangeringspunkten

Smaragdalena skrev:

Idil M skrev:

Smaragdalena skrev:

Re: [HSM] Bestäm tangeringspunkten

Idil M skrev:

Smaragdalena skrev:

Idil M skrev:

Re: [HSM] Bestäm tangeringspunkten

Re: [HSM] Bestäm tangeringspunkten

Idil M skrev:

Sidfot