Meddelande

Du befinner dig just nu på en äldre version av Pluggakuten, gamla.pluggakuten.se. Nya Pluggakuten lanserades den 6 februari 2017 och du finner forumet på www.pluggakuten.se.

På gamla.pluggakuten.se kan du fortfarande läsa frågorna och svaren som ställts, men du kan inte skapa ett nytt konto eller nya trådar. Är du redan medlem kan du däremot fortfarande logga in och svara i befintliga trådar. Nya frågor och nytt konto skapar du på det nya forumet, välkommen dit!

[MA 3/C]extrempunkter

karllundin
Medlem

Offline

Registrerad: 2016-01-20
Inlägg: 14

[MA 3/C]extrempunkter

Godmorgon

har uppgiften:

Bestäm nollställen och eventuella extrempunkter (minimipunkt, maximipunkt, terraspunkt) till funktionen h(x)=3x^4-16^3+18x^2

Tänkte det skulle gå relativt smärtfritt men det blev svårare än jag tänkt.

Jag började med att derivera för att få fram nollställe och extrempunkter

h'(x)=12x^3-48x^2+36x, men jag måste ju ha ner det till en andragradsekvation så deriverade en gång till

h''(x)=36x^2-96x+36, nu måste jag dela det med 36 för att kunna använda pq-formeln

h''(x)=x^2-2,6x+1 -> x1=2,13 x2=0,47,

För att få fram extrempunkter sätter jag in värdet i "originaltalet", men är detta rätt tänkt?

Senast redigerat av karllundin (2017-01-24 09:35)

 
Henrik E
Medlem

Offline

Registrerad: 2015-09-22
Inlägg: 3189

Re: [MA 3/C]extrempunkter

h"(x) är inte x^2-2,6x+1 utan 36(x^2 - 8/3 x + 1)

 
Yngve
Medlem

Offline

Registrerad: 2015-09-13
Inlägg: 2941

Re: [MA 3/C]extrempunkter

karllundin skrev:

Bestäm nollställen och eventuella extrempunkter (minimipunkt, maximipunkt, terraspunkt) till funktionen h(x)=3x^4-16^3+18x^2

Jag började med att derivera för att få fram nollställe och extrempunkter

h'(x)=12x^3-48x^2+36x, men jag måste ju ha ner det till en andragradsekvation så deriverade en gång till.

Hej.
Visst ska det stå h(x)=3x^4-16x^3+18x^2?

Nej det är inte rätt att derivera igen för att hitta extrempunkter till h(x).
Du ska sätta förstaderivatan h'(x) till 0 och lösa ekvationen.

h'(x) = 12x^3 - 48x^2 + 36x

x är en gemensam faktor i alla termer, så den kan brytas ut:
h'(x) = x*(12x^2 - 48x + 36)

h'(x) = 0 ger då att
x*(12x^2 - 48x + 36) = 0

Nu kan du använda  nollproduktsmetoden och pq-formeln för att hitta alla nollställen.


Nothing else mathers
 
SvanteR
Medlem

Offline

Registrerad: 2015-09-24
Inlägg: 626

Re: [MA 3/C]extrempunkter

karllundin skrev:

Godmorgon

har uppgiften:

Bestäm nollställen och eventuella extrempunkter (minimipunkt, maximipunkt, terraspunkt) till funktionen h(x)=3x^4-16^3+18x^2

Tänkte det skulle gå relativt smärtfritt men det blev svårare än jag tänkt.

Jag började med att derivera för att få fram nollställe och extrempunkter

h'(x)=12x^3-48x^2+36x, men jag måste ju ha ner det till en andragradsekvation så deriverade en gång till

Stopp!

Vad menar du med "jag måste ju ha ner det till en andragradsekvation"? Om du ska hitta extrempunkter så ska du derivera, och sedan sätta derivatan = 0. Blir det en tredjegradsekvation så blir det, och då är det den du måste lösa. Det här är en ganska lätt tredjegradsekvation. Man gör så här:

LaTeX ekvation

I VL finns x i alla termer. Då kan man lösa ut x:

LaTeX ekvation

Nollproduktsmetoden (kommer du ihåg den?) ger sedan två ekvationer:

LaTeX ekvation

och

LaTeX ekvation

De två ekvationerna ger sammanlagt tre lösningar till din tredjegradsekvation. Sedan kan du fortsätta som vanligt.

 
karllundin
Medlem

Offline

Registrerad: 2016-01-20
Inlägg: 14

Re: [MA 3/C]extrempunkter

Aha okej!

Men detta betyder då att uppgiften har 3 extrempunkter?

Men om jag löser detta med pq-formeln nu får jag ju fram punkterna x1=0, x2=3, x3=1, då sätter jag in dessa värderna i uppgiften för att få fram extrempunkterna?

Sen en fråga till, om jag vill få fram grafen till denna genom en grafritare, vilket tal är det som ska skrivas in? För vilket jag än skriver in får jag inte någon med ett nollställe på x1=0

 
joculator
Medlem

Offline

Registrerad: 2012-09-12
Inlägg: 3920

Re: [MA 3/C]extrempunkter

Det är inte nollställen för funktionen du har räknat ut, det är när derivatan är noll du har räknat ut. Dvs det som kallas extrempunkter.
Om du ritar upp h(x)=3x^4-16^3+18x^2 så ser du att det är en terasspunkt vid x=0, ett lokalt max vid x=1 och ett lokalt min vid x=3.

Men visst, om du ritar upp derivatan som en funktion ser du att du får nollpunkter för derivatan vid x=0, x=1 och x=3

 
karllundin
Medlem

Offline

Registrerad: 2016-01-20
Inlägg: 14

Re: [MA 3/C]extrempunkter

Jag är lite förvirrad,

För jag har lärt mig: nollställe= det du får ut av pq-formeln
                              extrempunkter= sätter in värdena från pq-formeln (nollställena) i ekvationen

Är detta fel?

 
Yngve
Medlem

Offline

Registrerad: 2015-09-13
Inlägg: 2941

Re: [MA 3/C]extrempunkter

karllundin skrev:

Jag är lite förvirrad,

För jag har lärt mig: nollställe= det du får ut av pq-formeln
                              extrempunkter= sätter in värdena från pq-formeln (nollställena) i ekvationen

Är detta fel?

Nej det är inte fel, men inte heller fullständigt.

Så här är det.

Om du har en funktion f(x) så är funktionens nollställen de värden på x som gör att funktionen har värdet 0.

Med andra ord: De värden på x som gör att f(x) = 0 kallas funktionens nollställen.

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

Om du istället vill ta reda på funktionens extrempunkter så deriverar du funktionen och tar reda på vid vilka värden på x som derivatan f'(x) har värdet 0.

Du letar alltså efter derivatans nollställen, genom att lösa ekvationen f'(x) = 0.

Detta ger dig de x--värden för vilka funktionen f(x) har sina extrempunkter.

Om du sen vill ta reda på funktionens värde i de punkterna så sätter du in de x-värden du fått ut i funktionsuttrycket f(x).

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

Slutligen:
PQ-formeln är bara en allmän metod att lösa andragradsekvationer och är inte i sig knuten till vare sig f(x) eller f'(x).

Senast redigerat av Yngve (2017-01-25 09:31)


Nothing else mathers
 
karllundin
Medlem

Offline

Registrerad: 2016-01-20
Inlägg: 14

Re: [MA 3/C]extrempunkter

Aa okej, det gjorde det lite klarare!

Jag är ledsen om jag är trög och uppskattar att ni hjälper mig, men om vi försöker en gång till bara.

Man vill få fram nollställe och extrempunkter och ha en graf på detta.

Nollställe har vi = x1=0 x2=1 x3=3

extrempunkter får jag fram genom att f'(x)=0, men i detta fallet så har ju alla mina tal ett "x" vid sin sida så så då måste enda sättet vara att sätta x=0?

Och på grafen så borde jag få fram att extrempunkten är då på x=0, och att den skär x-grafen i 3 punkter. (nollställena vi fått fram)

Men på grafritaren skriver jag in ekvationen innan den är deriverad? dvs h(x)=3x^4-16x^3+18x^2, och det är den jag ska visa upp?

 
Yngve
Medlem

Offline

Registrerad: 2015-09-13
Inlägg: 2941

Re: [MA 3/C]extrempunkter

karllundin skrev:

Man vill få fram nollställe och extrempunkter och ha en graf på detta.
Nollställe har vi = x1=0 x2=1 x3=3

Nej det är inte funktionens nollställen. De fick du ju fram när du skulle leta efter funktionens extrempunkter, genom att lösa ekvationen h'(x) = 0. De är alltså derivatans nollställen.

Om du vill ta reda på nollställena till funktionen h(x) så ska du lösa ekvationen h(x) = 0.

Senast redigerat av Yngve (2017-01-25 10:26)


Nothing else mathers
 
Yngve
Medlem

Offline

Registrerad: 2015-09-13
Inlägg: 2941

Re: [MA 3/C]extrempunkter

karllundin skrev:

extrempunkter får jag fram genom att f'(x)=0, men i detta fallet så har ju alla mina tal ett "x" vid sin sida så så då måste enda sättet vara att sätta x=0?

Funktionen h(x) har en extrempunkt då x = 0, en annan då x = 1, en tredje då x = 3.
För att få ut motsvarande funktionsvärde så ska du sätta in de x-värdena, ett i taget i funktionsuttrycket h(x).

Extrempunkten vid x = 0 har alltså funktionsvärdet h(0) = 3*0^4 - 16*0^3 + 18 * 0^2 = 0.
Denna extrempunkt är alltså (0, 0)

Gör samma sak för x = 1 och sedan för x = 3

karllundin skrev:

Men på grafritaren skriver jag in ekvationen innan den är deriverad? dvs h(x)=3x^4-16x^3+18x^2, och det är den jag ska visa upp?

Ja.


Nothing else mathers
 
karllundin
Medlem

Offline

Registrerad: 2016-01-20
Inlägg: 14

Re: [MA 3/C]extrempunkter

Attans, en sista fråga! Har letat som en galning på internet.

Jag förstår att om jag vill ha fram nollställena ska finna dom när h(x)=0, men hur får jag fram dom? Kollat på olika youtubeklipp men där har dom en andragradsfunktion och det kan jag hantera, men detta var lite svårare!

Senast redigerat av karllundin (2017-01-26 08:52)

 
joculator
Medlem

Offline

Registrerad: 2012-09-12
Inlägg: 3920

Re: [MA 3/C]extrempunkter

karllundin skrev:

Attans, en sista fråga! Har letat som en galning på internet.

Jag förstår att om jag vill ha fram nollställena ska finna dom när h(x)=0, men hur får jag fram dom? Kollat på olika youtubeklipp men där har dom en andragradsfunktion och det kan jag hantera, men detta var lite svårare!

h(x)=3x^4-16x^3+18x^2=x^2(3x^2-16x-18)=0

Nollproduktregeln ger dig 2 lösningar
1.   x^2=0                     denna bör du kunna lösa
2.   3x^2-16x-18=0        här kan du använda pq-formeln om du vill

 
Yngve
Medlem

Offline

Registrerad: 2015-09-13
Inlägg: 2941

Re: [MA 3/C]extrempunkter

Bra! Känns det som att du har lite mer koll på hur det hänger ihop nu?

Sammanfattning

En funktion f(x).
Grafen till f(x) kan ritas i ett koordinatsystem (för hand elller med grafräknare).
Funktionens nollställen är de x-värden där funktionen har värdet 0. Du får fram dem genom att lösa ekvationen f(x) = 0.
Det är de x-värden där grafen skär x-axeln, vilket betyder att du åtminstone ungefärligt kan hitta dem även genom att studera grafen.

Funktionens extrempunkter (max-/min-/terrasspunkter).
Vid dessa punkter har funktionens graf lutningen 0.
Eftersom funktionens derivata f'(x) beskriver lutningen hos f(x) så kan du hitte extrempunkterna genom att lösa ekvationen f'(x) = 0.
Du får då ut de x-värden för vilka funktionen f(x) har extremvärden. För att sedan bestämma själva extrempunkterna sätter du in de x-värden du fått fram i uttrycket för funktionen f(x).

Max-, min- eller terrasspunkt?
Det finns flera metoder att avgöra om en extrempunkt är en max-, min- eller terrasspunkt.
En metod är att studera andraderivatans f''(x) tecken vid extrempunktens x-koordinat.
Om f''(x) < 0 där så är det en maxpunkt.
Om f''(x) > 0 där så är det en minpunkt.
Om f''(x) = 0 där så kan det vara en terrasspunkt (men det behöver inte vara det). I detta fallet får vi göra en teckentabell och studera förstaderivatans tecken strax till vänster och strax till höger om extrempunkten.


Nothing else mathers
 
hanneslundin
Medlem

Offline

Registrerad: 2016-11-21
Inlägg: 74

Re: [MA 3/C]extrempunkter

Ja! Tack så hemskt mycket! Tacksam för att ni ställer upp!

 


Sidfot

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson

Powered by Mattecentrum
 |  Denna sida använder cookies |  Kontakta oss |  Feedback |