Sätt in facits svar i ekvatonen så ser du att det stämmer. Hur har du räknat?

daykneeyell skrev:

y' = ((y^2)-1)x

Villkor: y(0)=0

Tjenare, denna uppgift blir hela tiden fel. Svaret ska bli (1-e^(x^2))/1+e^(x^2)) men jag får ombytta tecken på e-termerna, det vill säga (1+e^(x^2))/1-e^(x^2)).

Jag har använt Wolfram Alpha Pro för att kolla på lösningsförslaget men den verkar fel(?) eller är helt sonika avancerat då dom använder sig av arctanh. Denna formel finns inte med i Kursboken (Endim LTH).

Vidare har jag använt mig av online integral beräknare som får mitt svar. Nu är man helt kluven, två datorer som får fel olika svar.

Det kan nämnas att lösningsförslaget från tekniskfysik.org/ar-ett/endimensionell-analys/ får mitt svar också. Nu har jag suttit och grubblat över denna uppgift i över en månad.

/Tack på förhand

Börja med att skriva din differentialekvation på integrerad form.

   

Vänsterledet ska uppfattas som en funktion av x, liksom högerledet.

Med hjälp av Konjugatregeln kan du skriva y-integranden som

   

Det betyder att y-integralen är sådan att 

    ;

notera att det måste vara absolutbelopp, eftersom man inte kan ta logaritmen av negativa tal, och det skulle ju kunna vara så att (y-1) eller (y+1) är negativa tal.

Det gäller alltså att

   

där betecknar en godtycklig konstant. Notera att jag avstod från att skriva en integrationskonstant () vid y-integreringen, eftersom den konstanten är inkluderad i  integrationskonstanten () vid x-integreringen.

Du har kommit fram till att funktionen skulle kunna vara en lösning till differentialekvationen, där

    ;

notera att denna funktion uppfyller villkoret . Detta är samma sak som att

    ,

vilket i sin tur betyder att

   

där betecknar mängden av alla x sådana att

   

och är mängden av alla x sådana att

    .

Eftersom är negativ om (y(x)>1 och y(x)<-1) eller (y(x)<1 och y(x)>-1) så är B lika med mängden av alla x sådana att -1<y(x)<1; följaktligen är A lika med mängden av alla x sådana att y(x)<-1 eller y(x)>1.

   

Uttrycket är samma sak som uttrycket

   

vilket betyder att

   

är samma sak som

   

Här är när och   när .

Notera att

    .

Villkoret är uppfyllt endast om . Detta betyder att

   

skulle kunna vara en lösning till differentialekvationen. Det är inte säkert att den är det, eftersom metoden som vi använt bygger på den integrerade formen

     

som i sin tur bygger på att man tolkar derivatan som en kvot av differentialer och . Detta är inte tillåtet, så våra beräkningar kan bara användas som en gissning till hur differentialekvationens lösning skulle kunna se ut.

Det visar sig att vår gissning inte är så dum, eftersom om du deriverar funktionen

   

så upptäcker du att den är sådan att och att , med andra ord uppfyller vår funktion den givna differentialekvationen.

Finns det andra lösningar är vår gissning? Svaret är Nej. Det finns en sats som säger att om din differentialekvation överhuvudtaget har en lösning, så är den unik. Vi har funnit en lösning (genom en klurig gissning), så enligt satsen är detta den enda lösningen.

God Jul!

albiki skrev:

daykneeyell skrev:

y' = ((y^2)-1)x

Villkor: y(0)=0

Tjenare, denna uppgift blir hela tiden fel. Svaret ska bli (1-e^(x^2))/1+e^(x^2)) men jag får ombytta tecken på e-termerna, det vill säga (1+e^(x^2))/1-e^(x^2)).

Jag har använt Wolfram Alpha Pro för att kolla på lösningsförslaget men den verkar fel(?) eller är helt sonika avancerat då dom använder sig av arctanh. Denna formel finns inte med i Kursboken (Endim LTH).

Vidare har jag använt mig av online integral beräknare som får mitt svar. Nu är man helt kluven, två datorer som får fel olika svar.

Det kan nämnas att lösningsförslaget från tekniskfysik.org/ar-ett/endimensionell-analys/ får mitt svar också. Nu har jag suttit och grubblat över denna uppgift i över en månad.

/Tack på förhand

Börja med att skriva din differentialekvation på integrerad form.

   

Vänsterledet ska uppfattas som en funktion av x, liksom högerledet.

Med hjälp av Konjugatregeln kan du skriva y-integranden som

   

Det betyder att y-integralen är sådan att 

    ;

notera att det måste vara absolutbelopp, eftersom man inte kan ta logaritmen av negativa tal, och det skulle ju kunna vara så att (y-1) eller (y+1) är negativa tal.

Det gäller alltså att

   

där betecknar en godtycklig konstant. Notera att jag avstod från att skriva en integrationskonstant () vid y-integreringen, eftersom den konstanten är inkluderad i  integrationskonstanten () vid x-integreringen.

Du har kommit fram till att funktionen skulle kunna vara en lösning till differentialekvationen, där

    ;

notera att denna funktion uppfyller villkoret . Detta är samma sak som att

    ,

vilket i sin tur betyder att

   

där betecknar mängden av alla x sådana att

   

och är mängden av alla x sådana att

    .

Eftersom är negativ om (y(x)>1 och y(x)<-1) eller (y(x)<1 och y(x)>-1) så är B lika med mängden av alla x sådana att -1<y(x)<1; följaktligen är A lika med mängden av alla x sådana att y(x)<-1 eller y(x)>1.

   

Uttrycket är samma sak som uttrycket

   

vilket betyder att

   

är samma sak som

   

Här är när och   när .

Notera att

    .

Villkoret är uppfyllt endast om . Detta betyder att

   

skulle kunna vara en lösning till differentialekvationen. Det är inte säkert att den är det, eftersom metoden som vi använt bygger på den integrerade formen

     

som i sin tur bygger på att man tolkar derivatan som en kvot av differentialer och . Detta är inte tillåtet, så våra beräkningar kan bara användas som en gissning till hur differentialekvationens lösning skulle kunna se ut.

Det visar sig att vår gissning inte är så dum, eftersom om du deriverar funktionen

   

så upptäcker du att den är sådan att och att , med andra ord uppfyller vår funktion den givna differentialekvationen.

Finns det andra lösningar är vår gissning? Svaret är Nej. Det finns en sats som säger att om din differentialekvation överhuvudtaget har en lösning, så är den unik. Vi har funnit en lösning (genom en klurig gissning), så enligt satsen är detta den enda lösningen.

God Jul!

God Jul på dig själv!

Detta var fan ta mig en grundlig beräkning så tack för din tid. Som jag precis ställde frågan till sthlmkille, hur kommer det sig att man kan baka in konstanten (som uppkommer efter integrering) som en koefficient. Kan jag inte behålla denna konstanten som en term?

Senast redigerat av daykneeyell (2016-12-26 04:01)

Men (1-y)/(1+y) är ju faktiskt inte -2/(y+1) +1 som du fått det till. Det går lika bra att ha konstanten kvar som e^(x^2+C). Då får du y1-e^...)/(1+e^...) och insättning av x=0. y=0 ger C=0.

Henrik E skrev:

Men (1-y)/(1+y) är ju faktiskt inte -2/(y+1) +1 som du fått det till. Det går lika bra att ha konstanten kvar som e^(x^2+C). Då får du y1-e^...)/(1+e^...) och insättning av x=0. y=0 ger C=0.

Det löste sig. För övrigt fick jag inte (1-y)/(1+y), utan (y-1)/(1+y). Detta efter att jag partialbråksuppdelat i integralen. Hur gjorde du?
Tack ändå

Senast redigerat av daykneeyell (2016-12-26 16:15)

Henrik E skrev:

(Tack, Smaragdalena, för avsmajlningen!) Uttrycket ln|y-1| bör skrivas ln(1-y) eftersom y=0 där vi startar och man inte tar logaritmen av negativa tal. Jag förstod inte albikis utläggning helt men jag håller inte med om att man inte utan vidare kan integrera diffekvationer så här. Det kan man göra och det har inte att göra med att dy dividerat med dx inte är lika med dy/dx. Beteckningen dy betyder ju y' dx.

Tack Henrik för hjälpen. Nu är jag med!