För att en funktion skall vara deriverbar i en punkt måste den vara kontinuerlig i punkten. Det är den om högergränsvärdet och vänstergränsvärdet är lika.

I det första fallet är högergränsvärdet (dvs då vi närmar oss 1 men värdena är alltid lite större än 1):



Och vänstergränsvärdet (dvs då vi närmar oss 1 men värdena är alltid lite mindre än 1):





Funktionen är alltså inte deriverbar i x=1

_______

För att en funktion skall vara deriverbar i en punkt krävs dock inte bara att den är kontinuerlig i punkten, även derivatan måste vara kontinuerlig dvs.



Använd villkoren att höger-och vänstergränsvärde skall vara samma samt att höger- och vänsterderivata skall vara samma i x=3 för att bestämma a och b.

Joodah skrev:

För att en funktion skall vara deriverbar i en punkt måste den vara kontinuerlig i punkten. Det är den om högergränsvärdet och vänstergränsvärdet är lika.

I det första fallet är högergränsvärdet (dvs då vi närmar oss 1 men värdena är alltid lite större än 1):



Och vänstergränsvärdet (dvs då vi närmar oss 1 men värdena är alltid lite mindre än 1):





Funktionen är alltså inte deriverbar i x=1

_______

För att en funktion skall vara deriverbar i en punkt krävs dock inte bara att den är kontinuerlig i punkten, även derivatan måste vara kontinuerlig dvs.



Använd villkoren att höger-och vänstergränsvärde skall vara samma samt att höger- och vänsterderivata skall vara samma i x=3 för att bestämma a och b.

Tack för förklaringen.

Bubo skrev:

gamechanger34 skrev:

Henrik E skrev:

Ditt uttryck för derivatan är fel. Hur fick du fram det? Men du behöver inte derivatans definition. Kolla först att funktionen är kontinuerlig i x=1.  Att både f(x) och f'(x) ska vara kontinuerliga i x=3 ger dej två villkor för att bestämma a och b.

Och sen byte jag ut x mot 1 och satte in värdena i funktionen 

Din formel är rätt, men du räknade  fel - det ska vara [ (1+h)^2 - 3*(1+h) - ( 1^2 - 3*1 ) ] /  h som du skriver, och så får du förenkla det och ta gränsvärdet när h går mot noll.

Fast det där är ju bara derivatan för de x som är större än 1. Om x är lite mindre än 1 så ser funktionen f helt annorlunda ut:  f(x) = x+2.

Om den här funktionen (alltså funktionen på båda sidor om 1) skall vara deriverbar för x=1, så skall vi kunna räkna fram vad derivatan f'(1) är. Jag gav ett uttryck här för derivatan, men det gäller bara om 1+h är större än 1.

Om 1+h är mindre än 1, så gäller på samma sätt  f'(x) = ( f(x+h) - f(x) ) / h och då blir det

f'(x) = f(x+h) - f(x) ) / h   = ( (x+h) + 2 - ( x + 2) ) / h

Vad blir det, när x=1 ? Blir det samma värde som vi får med
[ (1+h)^2 - 3*(1+h) - ( 1^2 - 3*1 ) ] /  h ?

Bra förklarat. Nej jag fick olika värden på dem:

[ (1+h)^2 - 3*(1+h) - ( 1^2 - 3*1 ) ] / H    = -1



( (1+h) + 2 - ( 1+ 2) ) / h            = 0

Bubo skrev:

Du slarvar igen. Det andra uttrycket blir ju (3+h-3)/h

Men det blir olika värden, så långt är det rätt. Just till höger om x=1 lutar alltså funktionen -1, och just till vänster om x=1 lutar funktionen på ett annat sätt. Det går inte att säga att funktionen just i den punkten där x=1 har en bestämd lutning.

Tack Bubo, schysst att du vill hjälpa mig så här sent.