Meddelande

Du befinner dig just nu på en äldre version av Pluggakuten, gamla.pluggakuten.se. Nya Pluggakuten lanserades den 6 februari 2017 och du finner forumet på www.pluggakuten.se.

På gamla.pluggakuten.se kan du fortfarande läsa frågorna och svaren som ställts, men du kan inte skapa ett nytt konto eller nya trådar. Är du redan medlem kan du däremot fortfarande logga in och svara i befintliga trådar. Nya frågor och nytt konto skapar du på det nya forumet, välkommen dit!

[HSM] Faktorisering, alt. lösning?

abc123abc
Medlem

Offline

Registrerad: 2016-09-13
Inlägg: 57

[HSM] Faktorisering, alt. lösning?

Hej, jag har lyckats lösa följande uppgift men det jag undrar över är om det finns ett alternativt sätt att lösa denna uppgift på eller om jag löst uppgiften på det smidigaste sättet:

faktorisera polynomet: f(x) = x^6-x^4+x^2-1

Jag börjar med några testvärden: 1 och -1. 

f(1) = 0
f(-1) = 0
Båda är nollställen.
Alltså gäller enligt faktorsatsen att (x-1) samt (x+1) är faktorer i f(x).

Jag tar sedan och förenklar (x-1)*(x+1) = x^2-1
Och utför sedan en polynomdivison:

x^6-x^4+x^2-1/ x^2-1 = x^4+1

Den kompletta faktoriseringen av polynomet f(x) blir alltså: (x-1)(x+1)(x^4+1)

MVH

 
Yngve
Medlem

Offline

Registrerad: 2015-09-13
Inlägg: 2941

Re: [HSM] Faktorisering, alt. lösning?

abc123abc skrev:

Hej, jag har lyckats lösa följande uppgift men det jag undrar över är om det finns ett alternativt sätt att lösa denna uppgift på eller om jag löst uppgiften på det smidigaste sättet:

faktorisera polynomet: f(x) = x^6-x^4+x^2-1

Jag börjar med några testvärden: 1 och -1. 

f(1) = 0
f(-1) = 0
Båda är nollställen.
Alltså gäller enligt faktorsatsen att (x-1) samt (x+1) är faktorer i f(x).

Jag tar sedan och förenklar (x-1)*(x+1) = x^2-1
Och utför sedan en polynomdivison:

x^6-x^4+x^2-1/ x^2-1 = x^4+1

Den kompletta faktoriseringen av polynomet f(x) blir alltså: (x-1)(x+1)(x^4+1)

MVH

Det ser väl jättebra ut. Jag ser inget enklare sätt.
Bara två kommentarer:
1. Det går att faktorisera x^4+1 ytterligare om vi utökar till komplexa tal.
2. Var noga med parenteserna.
Skriv (x^6-x^4+x^2-1)/(x^2-1) = x^4+1 för att undvika missförstånd.


Nothing else mathers
 
abc123abc
Medlem

Offline

Registrerad: 2016-09-13
Inlägg: 57

Re: [HSM] Faktorisering, alt. lösning?

Aha, tack så mycket!

 
Henrik E
Medlem

Offline

Registrerad: 2015-09-22
Inlägg: 3189

Re: [HSM] Faktorisering, alt. lösning?

x^4+1 kan faktoriseras i två reella andragradsfaktorer. Använd tricket att lägga till och dra ifrån 2x^2 och sedan ta kvadreringsregeln och konjugatregeln.

 
Smaragdalena
Medlem

Offline

Registrerad: 2012-02-02
Inlägg: 14676

Re: [HSM] Faktorisering, alt. lösning?

Henrik E skrev:

x^4+1 kan faktoriseras i två reella andragradsfaktorer. Använd tricket att lägga till och dra ifrån 2x^2 och sedan ta kvadreringsregeln och konjugatregeln.

Nä, det går väl inte. LaTeX ekvation är icke-negativt för alla reella tal, alltså ärLaTeX ekvation>0 för alla reella tal.

 
Teraeagle
Medlem

Offline

Registrerad: 2014-12-09
Inlägg: 2346

Re: [HSM] Faktorisering, alt. lösning?

Det går väl visst?

Efter kvadreringsregeln:

LaTeX ekvation

Efter konjugatregeln:

LaTeX ekvation


Kemiteknolog och metallurg
 
Yngve
Medlem

Offline

Registrerad: 2015-09-13
Inlägg: 2941

Re: [HSM] Faktorisering, alt. lösning?

EDIT - tvåa på bollen.

Jorå. Ta och ge, lägg till och dra ifrån.

x^4 + 1 = {lägg till och dra ifrån 2x^2} =
x^4 + 2x^2 + 1 - 2x^2 = {första kvadreringsregeln} =
(x^2 + 1)^2 - 2x^2 = {konjugatregeln} =
(x^2 + 1 + x•rotenur(2))(x^2 + 1 - x•rotenur(2))

Senast redigerat av Yngve (2016-12-11 13:53)


Nothing else mathers
 
Henrik E
Medlem

Offline

Registrerad: 2015-09-22
Inlägg: 3189

Re: [HSM] Faktorisering, alt. lösning?

Av algebrans fundamentalsats följer att alla reella polynom kan faktoriseras i reella faktorer av högst andra graden.

 
abc123abc
Medlem

Offline

Registrerad: 2016-09-13
Inlägg: 57

Re: [HSM] Faktorisering, alt. lösning?

Intressant, tackar så mycket.

 
Smaragdalena
Medlem

Offline

Registrerad: 2012-02-02
Inlägg: 14676

Re: [HSM] Faktorisering, alt. lösning?

Tack, det där hade jag glömt!

 


Sidfot

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson

Powered by Mattecentrum
 |  Denna sida använder cookies |  Kontakta oss |  Feedback |