Meddelande

Du befinner dig just nu på en äldre version av Pluggakuten, gamla.pluggakuten.se. Nya Pluggakuten lanserades den 6 februari 2017 och du finner forumet på www.pluggakuten.se.

På gamla.pluggakuten.se kan du fortfarande läsa frågorna och svaren som ställts, men du kan inte skapa ett nytt konto eller nya trådar. Är du redan medlem kan du däremot fortfarande logga in och svara i befintliga trådar. Nya frågor och nytt konto skapar du på det nya forumet, välkommen dit!

[MA 4/D] Polär form

minaz
Medlem

Offline

Registrerad: 2016-12-02
Inlägg: 43

[MA 4/D] Polär form

Lös den binomiska ekvationen z^4 = 81*(cos 80° + i sin 80°) och markera också hur rötterna till ekvationen ligger i det komplexa talplanet.

Jag vet inte hur jag ska använda de Moivres formel i denna uppgift. Kan någon hjälpa mig på traven?

 
tomast80
Medlem

Offline

Registrerad: 2010-01-23
Inlägg: 1249

Re: [MA 4/D] Polär form

Utnyttja att om:
LaTeX ekvation
gäller att:
LaTeX ekvation
Kan du nu bestämma r och v?

 
minaz
Medlem

Offline

Registrerad: 2016-12-02
Inlägg: 43

Re: [MA 4/D] Polär form

LaTeX ekvation
Har jag gjort rätt?

 
Bubo
Medlem

Offline

Registrerad: 2015-12-28
Inlägg: 832

Re: [MA 4/D] Polär form

Läs din uppgift igen:
z^4 = 81*(cos 80° + i sin 80°)

Det är z du ska få fram.

 
minaz
Medlem

Offline

Registrerad: 2016-12-02
Inlägg: 43

Re: [MA 4/D] Polär form

Hur får jag fram z?
LaTeX ekvation Vad har gjort för fel?

Senast redigerat av minaz (2016-12-11 18:09)

 
Yngve
Medlem

Offline

Registrerad: 2015-09-13
Inlägg: 2941

Re: [MA 4/D] Polär form

Din ekvation är
z^4 = 81*(cos 80° + i*sin 80°)

Till din hjälp har du att ekvationen
z^4 = r^4*(cos(4v) + i*sin(4v)) har lösningen z = r*(cos(v) + i*sin(v))

Frågan är nu om din ekvation kan skrivas/är skriven på formen
z^4 = r^4*(cos(4v) + i*sin(4v)) ?

Om den kan det/är det:
Vad är då r^4? Och vad blir då r?
Vad är då 4v? Och vad blir då v?

Senast redigerat av Yngve (2016-12-11 18:27)


Nothing else mathers
 
Eelluuxx
Medlem

Offline

Registrerad: 2015-03-01
Inlägg: 1125

Re: [MA 4/D] Polär form

minaz skrev:

Hur får jag fram z?
LaTeX ekvation Vad har gjort för fel?

Här går det lite galet. Vinkeln innanför de trigonometriska uttrycken i z, v, är likamed 4 gånger vinkeln innanför de trigonometriska uttrycken i z^4. Vinkeln blir därför 20 grader. Vad blir r?

 
minaz
Medlem

Offline

Registrerad: 2016-12-02
Inlägg: 43

Re: [MA 4/D] Polär form

Yngve skrev:

Din ekvation är
z^4 = 81*(cos 80° + i*sin 80°)

Till din hjälp har du att ekvationen
z^4 = r^4*(cos(4v) + i*sin(4v)) har lösningen z = r*(cos(v) + i*sin(v))

Frågan är nu om din ekvation kan skrivas/är skriven på formen
z^4 = r^4*(cos(4v) + i*sin(4v)) ?

Om den kan det/är det:
Vad är då r^4? Och vad blir då r?
Vad är då 4v? Och vad blir då v?

r=2 och v=20 ?
Tycker det här är så krångligt.. Jag uppskattar all hjälp jag kan få!

 
Yngve
Medlem

Offline

Registrerad: 2015-09-13
Inlägg: 2941

Re: [MA 4/D] Polär form

minaz skrev:

r=2 och v=20 ?
Tycker det här är så krångligt.. Jag uppskattar all hjälp jag kan få!

v = 20° är rätt, men r = 2 är fel.
r^4 = 81 vad är r?


Nothing else mathers
 
minaz
Medlem

Offline

Registrerad: 2016-12-02
Inlägg: 43

Re: [MA 4/D] Polär form

Yngve skrev:

minaz skrev:

r=2 och v=20 ?
Tycker det här är så krångligt.. Jag uppskattar all hjälp jag kan få!

v = 20° är rätt, men r = 2 är fel.
r^4 = 81 vad är r?

r = 3
Ska bara sätta in v=20 och r=3 i formeln nu?

 
Yngve
Medlem

Offline

Registrerad: 2015-09-13
Inlägg: 2941

Re: [MA 4/D] Polär form

Ja. Vad blir då z?


Nothing else mathers
 
Bubo
Medlem

Offline

Registrerad: 2015-12-28
Inlägg: 832

Re: [MA 4/D] Polär form

Titta på http://wiki.sommarmatte.se/wikis/sommar … 3%A4r_form som jag länkade till i en annan tråd också.

Som det står på slutet på den sidan blir det enkelt att multiplicera komplexa tal med varandra om man skriver dem i polär form. Man multiplicerar helt enkelt beloppen, och adderar argumenten.

I ditt fall här multiplicerar du alltså r*r*r*r och får 81. Då vet du att r=3 och inget annat.
(visserligen är (-3)*(-3)*(-3)*(-3) också 81, men absolutbeloppet kan ju inte vara negativt)

Sedan skulle man ju kunna tro att 4v=80grader, så att svaret blir v=20grader och inget annat.

Visst, v=20grader är en lösning, men det finns fler. Kommer du ihåg att man får samma värde på sinus för en vinkel om man lägger till ett helt varv, eller rentav flera varv? Man går något varv extra runt enhetscirkeln och kommer tillbaka till samma punkt.

Så sin(4v) = sin(80grader) och cos(4v)=cos(80grader) är faktiskt samma ekvation som
sin(4v) = sin(80grader + N*360grader) och cos(4v)=cos(80grader + N*360grader)
Hittar du de andra tre lösningarna nu?

 
minaz
Medlem

Offline

Registrerad: 2016-12-02
Inlägg: 43

Re: [MA 4/D] Polär form

Tack för förklaringen Bubo.
z1= 3(cos 80° + i sin 80°)
z2= 3(cos 170° + i sin 170°)
z3= 3(cos 260° + i sin 260°)
z4= 3(cos 350° + i sin 350°)

Kan detta verkligen stämma?

 
Bubo
Medlem

Offline

Registrerad: 2015-12-28
Inlägg: 832

Re: [MA 4/D] Polär form

Ja.

Man kan välja sina vinklar mellan 0 och 360 grader, eller mellan -180grader och 180grader. Bägge sätten är rätt. Oftast väljer man som du har gjort här.

 
minaz
Medlem

Offline

Registrerad: 2016-12-02
Inlägg: 43

Re: [MA 4/D] Polär form

Tack så mycket för hjälpen!

 
Yngve
Medlem

Offline

Registrerad: 2015-09-13
Inlägg: 2941

Re: [MA 4/D] Polär form

minaz skrev:

Tack för förklaringen Bubo.
z1= 3(cos 80° + i sin 80°)
z2= 3(cos 170° + i sin 170°)
z3= 3(cos 260° + i sin 260°)
z4= 3(cos 350° + i sin 350°)

Kan detta verkligen stämma?

Du kan kolla själv om det stämmer.
Använd formeln du fick i början.
Om z = r*(cos(v) + i*sin(v)) så är
z^4 = r^4*(cos(4v) + i*sin(4v))

Pröva med z1, där r = 3 och v = 80°:
z1^4 = 3^4*(cos(4*80°) + i*sin(4*80°)) = 81*(cos(320°) + i*sin(320°)).
Är det samma komplexa tal som z^4 = 81*(cos 80° + i*sin 80°)?

Och så vidare med z2, z3, z4.


Nothing else mathers
 
Bubo
Medlem

Offline

Registrerad: 2015-12-28
Inlägg: 832

Re: [MA 4/D] Polär form

Nej, Yngve: Det är cos(4v) som är cos(80°), inte cos(v).

 
Yngve
Medlem

Offline

Registrerad: 2015-09-13
Inlägg: 2941

Re: [MA 4/D] Polär form

Bubo skrev:

Nej, Yngve: Det är cos(4v) som är cos(80°), inte cos(v).

Exactly my point.

z1= 3*(cos(80°) + i*sin(80°)) är inte en lösning till ekvationen z^4 = 81*(cos(80°) + i*sin(80°))


Nothing else mathers
 
Bubo
Medlem

Offline

Registrerad: 2015-12-28
Inlägg: 832

Re: [MA 4/D] Polär form

Aha - ja, det blev ju lite rörigt ett tag lite tidigare.

 
Yngve
Medlem

Offline

Registrerad: 2015-09-13
Inlägg: 2941

Re: [MA 4/D] Polär form

smile


Nothing else mathers
 


Sidfot

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson

Powered by Mattecentrum
 |  Denna sida använder cookies |  Kontakta oss |  Feedback |