Du kan förslagsvis göra ett induktionsbevis. Just det där exemplet finns även på Wikipedia:

https://sv.wikipedia.org/wiki/Matematisk_induktion

Kalla summan för . Tänk dig nu att vi har två sådana summor och som båda är lika med varandra eftersom båda är just men vi skriver dem på olika sätt:

.



Enda skillnaden är alltså att vi har skrivit summornas termer i omvänd ordning vilket förstås inte förändrar deras värde. Vi har fortfarande att .

Om vi nu hela vägen adderar första termen i med första termen i , och sedan andra termen i med andra termen i osv osv, så kommer vi att få följande summa



Eftersom denna nya summa har termer som alla är så kan vi alltså skiva om HL som , och detta är lika med . Dividerar vi båda led med 2 så får vi alltså att , vilket var vad vi ville visa.

En annan lösningsmetod är:

En aritmetisk talföljd har en fast differens, och kan därmed skrivas som a(n)=a(1)+(n-1)d. Differensen är 1, och a(1)=1. a(n)=1+(n-1)1=n

En aritmetisk summa räknas ut som: ((a(1)+a(n))/2)*n, n är antalet termer. Om det första talet är 1, och det sista talet a(n)=n (enligt vår formel), då finns det n antal tal i serien.

Den aritmetiska summan blir då: S=((1+n)/2)*n.

Möblera om lite i talet och du får det eftersökta S=((n(n+1))/2.

Edit: Glömmer alltid att avaktivera smileys i matematikrelaterade inlägg.

Senast redigerat av Eelluuxx (2016-12-07 10:48)

albiki skrev:

så kan du notera att också kan skrivas baklänges som

   

Visst kan man göra det enligt den kommutativa lagen. MEN varför ska man ens uttrycka S baklänges? Man ska väl inte skriva om varje gång man ser x = 1+2 behöva skriva det som x = 2+1 för att inse att x=3

albiki skrev:

Om du adderar de två summorna får du

   

Varför ska man behöva addera talen S? Det känns ju bara som att S = (n*(n+1))/2 <=> 2S = n*(n+1)? Varför ska man göra så??

Russell skrev:

Hur får du fram det? Jag antar att du adderar första termen i med första termen i och så vidare. Är det för att du vill få endast (n+1)-termer?

Russell skrev:

Eftersom denna nya summa har termer

Hur vet man det?

Ja, man vill att alla termer skall bli n+1.
Varför det blir n termer? Räkna själv! Den första termen är 1+n, den andra är 2+(n-1), den tredje är 3+(n-2), ... den n-te termen är n+1.

Smaragdalena skrev:

Ja, man vill att alla termer skall bli n+1.
Varför det blir n termer? Räkna själv! Den första termen är 1+n, den andra är 2+(n-1), den tredje är 3+(n-2), ... den n-te termen är n+1.

det skulle ha gått bra att räkna hur många termer det bildas om n var ett bestämt värde. Jag kan inte räkna ut hur många termer som bildas om jag inte vet vilket värde n har

Om jag kunde se att det bildades n termer skulle jag inte ha frågat, återigen hur ser man det?

Russell skrev:

Elev98 skrev:

det skulle ha gått bra att räkna hur många termer det bildas om n var ett bestämt värde. Jag kan inte räkna ut hur många termer som bildas om jag inte vet vilket värde n har

Om Smaragdalenas sätt inte hjälpte så kan du testa att tänka så här:

Summan har förstås n termer (det är du med på, right?). Summan s+s har förstås dubbelt så många termer, dvs 2n termer. Eftersom varje (n+1) innehåller två termer så finns det alltså hälften så många (n+1) som det finns termer totalt i summan s+s. Summan innehåller alltså 2n/2=n stycken (n+1).

men om man ska räkna med att (n+1) innehåller två termer (vilket det givetvis gör) så innehåller också (n-1) två termer i uttrycket även (n-2) innehåller också två termer. Borde det inte bli fler termer än n st om de i slutet kan uttryckas med två termer?

Senast redigerat av Elev98 (2016-12-07 15:15)

Smaragdalena skrev:

Om var och en av termerna skall vara värd n+1, går det åt två termer till var och en av dem.  Du har n termer från den summan som går framlänges, och n termer från den summan som går baklänges, alltså 2n termer totalt. Parar du ihop dem två och två (så att varje par ger summan n+1) blir det n stycken par.

(n+1) behöver inte nödvändigtvis bestå av två termer eftersom är också lika med som alltså består av tre termer i grunden enligt

Russell skrev:

Elev98 skrev:

men om man ska räkna med att (n+1) innehåller två termer (vilket det givetvis gör) så innehåller också (n-1) två termer i uttrycket även (n-2) innehåller också två termer. Borde det inte bli fler termer än n st om de i slutet kan uttryckas med två termer?

Okej, vi kan skriva istället. Håller du med om att det finns n stycken termer i den summan?

Håller du med om att och tillsammans har 2n termer?

Håller du med om att vi kan para ihop första termen i med sista termen i för att få värdet n+1 (oavsett vad n är i sammanhanget)?

Håller du med om att vi kan para ihop andra termen i med näst sista termen i för att igen få värdet n+1?

Håller du med om att vi, om vi fortsätter på det sättet, hela tiden kommer att få just värdet n+1?

Håller du med om att vi, när vi är färdiga, kommer att ha fått detta värde n gånger eftersom det är så många gånger vi kommer att ha gjort proceduren?

Okej, nu ser jag det! Kan man alltså skriva beviset på följande sätt:





?

Senast redigerat av Elev98 (2016-12-07 16:40)

SeriousSquid skrev:

Framlänges-baklängesbeviset har även en geometisk motsvarighetdär 1 + 2 + 3 + ... + n är representerbart som en trappfigur som kan paras med en rotation av sig självt för att forma en rektangel med sidor n och n + 1 varför antalet rutor i den (eller dess area om man så vill) är n(n + 1) och summan blir hälften av det.

http://i.imgur.com/x69PivQ.png

Okej, nu kan jag se det geometriskt Men det som jag skrev i mitt senaste inlägg, är det också korrekt?

Senast redigerat av Elev98 (2016-12-07 17:07)