Meddelande

Du befinner dig just nu på en äldre version av Pluggakuten, gamla.pluggakuten.se. Nya Pluggakuten lanserades den 6 februari 2017 och du finner forumet på www.pluggakuten.se.

På gamla.pluggakuten.se kan du fortfarande läsa frågorna och svaren som ställts, men du kan inte skapa ett nytt konto eller nya trådar. Är du redan medlem kan du däremot fortfarande logga in och svara i befintliga trådar. Nya frågor och nytt konto skapar du på det nya forumet, välkommen dit!

[HSM] Linjär algebra

Godzilla
Medlem

Offline

Registrerad: 2014-01-23
Inlägg: 200

[HSM] Linjär algebra

Hej!

Linjen L1 går genom punkterna A1 och B1 och linjen L2 går genom punkterna A2 och B2, där A1 = (-4,3,0) B1 = (-3,6,1) och A2 = (1,3,2) B2 = (-2,2,1)

a) Bestäm en parameterform och en ekvation till det plan II som innehåller L2 och är parrallel med L1

b) Förklara varför det minsta avståndet d mellan L1 och L2 är lika med avståndet mellan planen II och punkten A1 och beräkna den.

Hur jag har tänkt:

a) plantets ekvation i vektorform d.v.s. parameter form kan ju skrivas som x = p+s(riktningsvekor 1) + t(riktningsvektor 2) där p är en punkt på planet, och s och t är element i de reela talen. Eftersom planet ska vara parralel med L1 måste ena riktningsvektorn för planet vara samma riktningsvektor som linjen L1 har, inte sant? Att planet sedan ska innehålla L2 betyder väl också att den andra riktningsvektorn ska vara L2:s riktningsvekor, samt att punkten p i planets ekvation måste t.ex. vara p = (1,3,2). D.v.s. planets ekvation i vektorform blev alltså
x = (1,3,2) + s(L1:s riktningsvektor) + t(L2:s riktningsvektor), sedan är det bara att räkna ut och sätta in, har jag tänkt rätt?

b) på b) vet jag inte vad mna ska göra, eftersom det handlar om avstånd vet jag att det har något med projicering att göra. Är helt lost, skulle uppskatta om ni kunde lösa uppgiften fullständigt för då lär jag mig bäst, när man ger ledtrådar etc är kul i o för sig också men i min mening är när man bara ger fullständiga lösningen allra bäst. Tack på förhand! Såklart får ni ge tips också men om ni kan tänka er skriva antingen ena eller andra så råder jag er att skriva en slags fullständig lösning på ngt sätt, tackar!

 
Henrik E
Medlem

Offline

Registrerad: 2015-09-22
Inlägg: 3189

Re: [HSM] Linjär algebra

Du har tänkt rätt. Eftersom L1 är parallell med planet har alla punkter på L1 samma avstånd d från planet. L1s projektion i planet blir en rät linje som skär L2 i en punkt som vi kan kalla P. Låt Q vara den punkt på L1 som projiceras på P. Då är PQ vinkelrät mot planet och dess längd är alltså d. Inget annan punktpar (en punkt på var sin linje) kan ju ha kortare avstånd.

 
anders45
Medlem

Offline

Registrerad: 2015-03-23
Inlägg: 813

Re: [HSM] Linjär algebra

]Hej!

Linjen L1 går genom punkterna A1 och B1 och linjen L2 går genom punkterna A2 och B2, där A1 = (-4,3,0) B1 = (-3,6,1) och A2 = (1,3,2) B2 = (-2,2,1)

a) Bestäm en parameterform och en ekvation till det plan II som innehåller L2 och är parrallel med L1

A1 och B1 ger riktningen på linjen L1: (-3+4, 6-3, 1-0) = (1,3,1) = V1
A2 och B2 ger riktningen på linjen L2: (1+2, 3-1, 2-1) = (3,2,1)=V2
Det sökta planet Ax+By+ Cy +D =0
är vinkelrät mot V1 och V2
detta ger
A*1+B*3+C*1 = 0
A*3?B*2+C*1=0
B och C kan uttryckas i A

Återstår att bestämma A och D vilket kan göras med  A2 = (1,3,2) och B2 = (-2,2,1)

 
Godzilla
Medlem

Offline

Registrerad: 2014-01-23
Inlägg: 200

Re: [HSM] Linjär algebra

Hur räknar man ut avståndet d? är det bara att ta krysspunkten av riktningsvektorerna? och sedan normen av normalvektor till planet?

 
Henrik E
Medlem

Offline

Registrerad: 2015-09-22
Inlägg: 3189

Re: [HSM] Linjär algebra

Du kan ta vilken som helst av A1-A2, A1-B2, B1-A2, B1-B2 och skalärmultiplicera med normalvektorn (om den har längden 1).

 
anders45
Medlem

Offline

Registrerad: 2015-03-23
Inlägg: 813

Re: [HSM] Linjär algebra

Godzilla skrev:

Hur räknar man ut avståndet d? är det bara att ta krysspunkten av riktningsvektorerna? och sedan normen av normalvektor till planet?

Det finns flera metoder. Ett sätt är att välja en punkt, t ex (-4,3,0) linjen L1.
Från ekvationen på planet Ax+By?Cz+D=0 där linjen L2 ligger får du reda på normalvektorn.
Då är
x= -4+At
y=3+Bt
z=0+Ct
Stoppa in dessa i planens ekvation och bestäm t.
Sedan kan avståndet d bestämmas.
d^2=(At)^2+(Bt)^2+(Ct)^2.
En annan möjlighet är att använda formeln nedan om du har stött på den.
xo, yo,zo en godtyckig punkt på linjen, Ax+By?Cz+D=0 planet.

LaTeX ekvation
OBS 1 är beloppstecken

Division med
LaTeX ekvation
ger en normerad normalvektor.

Senast redigerat av anders45 (2016-11-07 13:14)

 
Godzilla
Medlem

Offline

Registrerad: 2014-01-23
Inlägg: 200

Re: [HSM] Linjär algebra

Och om den inte har längden 1? Varför ska man ens göra så? Varfört skalärmulitplicerar man normalvektorn för planet med t.ex. (A2-A1)

 
Henrik E
Medlem

Offline

Registrerad: 2015-09-22
Inlägg: 3189

Re: [HSM] Linjär algebra

Om till exempel normalvektorn  har längden 17 dividerar du den med 17. Då får du en enhetsnormalvektor. Skalärprodukten av två vektorer blir produkten av längderna gånger cosinus för vinkeln. Om Ena vektorn har längden 1 blir andra vektorns längd gånger cosinus för vinkeln just längden av andra vektorns projektion.

 


Sidfot

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson

Powered by Mattecentrum
 |  Denna sida använder cookies |  Kontakta oss |  Feedback |