Meddelande

Du befinner dig just nu på en äldre version av Pluggakuten, gamla.pluggakuten.se. Nya Pluggakuten lanserades den 6 februari 2017 och du finner forumet på www.pluggakuten.se.

På gamla.pluggakuten.se kan du fortfarande läsa frågorna och svaren som ställts, men du kan inte skapa ett nytt konto eller nya trådar. Är du redan medlem kan du däremot fortfarande logga in och svara i befintliga trådar. Nya frågor och nytt konto skapar du på det nya forumet, välkommen dit!

[HSM] Gränsvärde för (e^x-1)/x

Stoffer
Medlem

Offline

Registrerad: 2016-10-04
Inlägg: 19

[HSM] Gränsvärde för (e^x-1)/x

Hej!

Läser just nu envariabelsanalys och har stött på en uppgift:

Beräkna gränsvärdet LaTeX ekvation.

Svaret blir 1, men jag ser inte hur man kommer fram till detta rent algebraiskt. Någon som vet?

 
_Elo_
Medlem

Offline

Registrerad: 2016-05-28
Inlägg: 250

Re: [HSM] Gränsvärde för (e^x-1)/x

Detta är ju i sig ett standardgränsvärde av typen 0/0. Om ni gått igenom l'Hospital kan du använda detta.
Ett annat alternativ är att substituera hela täljaren och sedan använda dig utav standardgränsvärdet ln(x+1)/x då x-->0.

 
albiki
Medlem

Offline

Registrerad: 2008-05-25
Inlägg: 6403

Re: [HSM] Gränsvärde för (e^x-1)/x

Stoffer skrev:

Hej!

Läser just nu envariabelsanalys och har stött på en uppgift:

Beräkna gränsvärdet LaTeX ekvation.

Svaret blir 1, men jag ser inte hur man kommer fram till detta rent algebraiskt. Någon som vet?

Välkommen till PluggAkuten!

Du skulle kunna utgå från definitionen av den naturliga logaritmen och använda (en av) Integralkalkylens Fundamentalsats för att härleda derivatan av exponentialfunktionen; ditt gränsvärde är ju exponentialfunktionens derivata, beräknad för x=0.

    LaTeX ekvation

där F(t) betecknar en primitiv funktion till 1/t. Eftersom funktionen e^x är invers till funktionen ln x gäller det att

    x = ln(e^x) = F(e^x) - F(1).

Derivering med avseende på x ger (med Kedjeregeln och Integralkalkylens Fundamentalsats)

    1 = F'(e^x)*(e^x)',

där (e^x)' betecknar derivatan som vi söker. Eftersom F'(t) = 1/t så har vi resultatet

    1 = (1/e^x)*(e^x)'

det vill säga

    (e^x)' = e^x.

Enligt definition av derivata är det sökta gränsvärdet lika med e^0.

 


Sidfot

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson

Powered by Mattecentrum
 |  Denna sida använder cookies |  Kontakta oss |  Feedback |