Meddelande

Du befinner dig just nu på en äldre version av Pluggakuten, gamla.pluggakuten.se. Nya Pluggakuten lanserades den 6 februari 2017 och du finner forumet på www.pluggakuten.se.

På gamla.pluggakuten.se kan du fortfarande läsa frågorna och svaren som ställts, men du kan inte skapa ett nytt konto eller nya trådar. Är du redan medlem kan du däremot fortfarande logga in och svara i befintliga trådar. Nya frågor och nytt konto skapar du på det nya forumet, välkommen dit!

Plugg inför tenta behöver hjälp att lösa ett tal!

Mwithtwoshoes
Medlem

Offline

Registrerad: 2016-09-12
Inlägg: 4

Plugg inför tenta behöver hjälp att lösa ett tal!

Hej såg att det redan skapats en tråd med samma fråga men såg dock att det inte fanns något direkt svar på frågan.


En komposition av ett tal är ett sätt att skriva talet som summa av en eller flera positiva heltalstermer.

Förklara varför det finns 2^19 kompositioner av 20. I hur många av dessa är varje term jämn?

En ledtråd är ju att tänka: För det första måste jag påpeka: påståendet är endast sant om vi räknar ordnade representationer alltså om vi anser 5+15 och 15+5 vara två olika kompositioner.

När vi insett detta så vore en ledtråd kanske att säga såhär: tänk dig talet 20 som 20 stycken prickar på en rad. En komposition är då att avskilja vissa prickar från varandra med lodräta streck, exempelvis kan kompositionen 5+15 representeras av ett streck mellan punkt 5 och 6 så att vi har 5 prickar till vänster om strecket och 15 prickar till höger om det. Kompositionen 3+12+5 skulle kunna representeras av ett streck mellan prick 3 och 4 och ett streck mellan prick 15 och 16.

Får fortfarande inget grepp om helheten, är det någon kunnig där ute som vet hur man ska fortsätta att gå till väga? Vore verkligen till stor hjälp då tenta perioden är om en månad.

Bästa hälsningar,

Mats

Senast redigerat av Mwithtwoshoes (2016-09-12 15:45)

 
Smutsmunnen
Medlem

Offline

Registrerad: 2010-04-18
Inlägg: 868

Re: Plugg inför tenta behöver hjälp att lösa ett tal!

Det är ju jag som skrivit det där lösningsförslaget så rimligtvis bör jag besvara det här.

Min tanke bakom den här lösningen var alltså så här:

Vi tänker oss talet 20 som en rad med 20 prickar. Det existerar då 19 mellanrum mellan prickar, med andra ord har mängden av "mellanrum mellan två prickar" 19 element. Vi kan kalla den mängden M. Hur många delmängder har M? Den har naturligtvis 2^19 delmängder.

Vi visar nu att det finns en bijektion mellan ordnade kompositioner av talet 20 och mängden av delmängder till mängden M.

En ordnad komposition kan förstås som att vi avskiljer raden av på 20 prickar genom ett antal streck i mellanrummen mellan prickar. Exemeplevis kan kompositionen 5+15 representeras av att vi drar ett streck mellan punkt 5 och punkt 6, så att vi får 5 punkter på ena sidan om strecket och 15 punkter på andra sidan. Kompositionen 15+5 representeras på samma sätt av ett streck mellan punkt 15 och 16. Komposition 3+12+5 representeras av ett streck mellan punkt tre och fyra samt ett streck mellan 15 och punkt 16. Då finns det tre punkter innan det första strecket, 12 punkter mellan streck ett och streck 2 och 5 punkter efter det andra strecket.

Men hur många sätt existerar det att placera ut sådana streck? Jo, lika många som antalet delmängder till M förstås, eftersom varje placering av streck just består i ett urval av mellanrum mellan punkter.

Mer begripligt?

Senast redigerat av Smutsmunnen (2016-09-12 19:24)

 
Smutsmunnen
Medlem

Offline

Registrerad: 2010-04-18
Inlägg: 868

Re: Plugg inför tenta behöver hjälp att lösa ett tal!

Vid behov kan jag presentera en lösning baserad på induktion också, det är på sitt sätt enklare men också något mindre illustrativt.

 
Mwithtwoshoes
Medlem

Offline

Registrerad: 2016-09-12
Inlägg: 4

Re: Plugg inför tenta behöver hjälp att lösa ett tal!

Det jag inte greppar är vad jag ska göra efter 3+12+5, är svaret på frågan att alla är jämna? då 2^19 skulle innebära 2+2+2+2+2+2+2+2+2+2 och talet 2 är ju jämt? Hur många jämna tal finns det? förstår inte hmm

Senast redigerat av Mwithtwoshoes (2016-09-12 19:44)

 
Mwithtwoshoes
Medlem

Offline

Registrerad: 2016-09-12
Inlägg: 4

Re: Plugg inför tenta behöver hjälp att lösa ett tal!

Hur skulle det bli med induktion? så jag kan se vilka termer i varje tal som är jämna..

Senast redigerat av Mwithtwoshoes (2016-09-12 19:44)

 
Smutsmunnen
Medlem

Offline

Registrerad: 2010-04-18
Inlägg: 868

Re: Plugg inför tenta behöver hjälp att lösa ett tal!

Mwithtwoshoes skrev:

Det jag inte greppar är vad jag ska göra efter 3+12+5, är svaret på frågan att alla är jämna? då 2^19 skulle innebära 2+2+2+2+2+2+2+2+2+2 och talet 2 är ju jämt? Hur många jämna tal finns det? förstår inte hmm

Alltså det är ju två delfrågor. Blanda inte ihop dem. Jag har bara besvarat den ena.

Fråga 1) Visa att det finns 2^19 partitioner. Det är det här problemet jag besvarat.
Fråga 2) Hur många av dessa partioner är alla termer jämna. Jag har inte besvarat den fråga, men det är väldigt enkelt att använda metoden på fråga 1 för att besvara fråga 2.

Är det så att du förstår lösningen på fråga 1 men inte hur man löser fråga 2 utifrån det? I så fall hjälper inte induktionen dig, för induktionen är återigen bara svar på fråga 1. Men återigen, om man förstår svaret på fråga 1 så är svaret på fråga 2 mer eller mindre uppenbart.

 
Smutsmunnen
Medlem

Offline

Registrerad: 2010-04-18
Inlägg: 868

Re: Plugg inför tenta behöver hjälp att lösa ett tal!

Och eftersom jag ändå är så oregelbundet inloggad här numer, så ger jag i spoiler, om du vill se, en ledtråd ifall det ändå är så att du har svårt att se sambandet mellan fråga 1 och fråga2:

Spoiler (Klicka för att visa):


Betrakta en ordnad komposition av 20 som endast består av jämna termer, exempelvis 2+12+4+2. Eftersom alla termer är jämna kan vi bryta ut 2: 2+12+4+2 = 2(1+6+2+1). Uttrycket inom parentesen är en ordnad komposition av 10. Alltså finns det lika många ordnade kompositioner av 20 där alla termer är jämna som det finns ordnade kompositioner av 10. Använd nu resonemanget som jag använde på fråga 1 för att bestämma  antalet ordnade kompositioner av 10.


 
Mwithtwoshoes
Medlem

Offline

Registrerad: 2016-09-12
Inlägg: 4

Re: Plugg inför tenta behöver hjälp att lösa ett tal!

Vad trög jag är nu såg jag sambanden! Väldigt smart, testade flytta runt kulor då blev de genast mycket enklare. Tusen tack för hjälpen! Men om vi tittar på de såhär då?

Om man skulle formulera och motivera en allmän princip för antalet kompositioner
av n där varje term är delbar med k hur skulle det se ut då?.

 
Henrik E
Medlem

Offline

Registrerad: 2015-09-22
Inlägg: 3189

Re: Plugg inför tenta behöver hjälp att lösa ett tal!

Har du något förslag?

 


Sidfot

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson

Powered by Mattecentrum
 |  Denna sida använder cookies |  Kontakta oss |  Feedback |