Meddelande

Du befinner dig just nu på en äldre version av Pluggakuten, gamla.pluggakuten.se. Nya Pluggakuten lanserades den 6 februari 2017 och du finner forumet på www.pluggakuten.se.

På gamla.pluggakuten.se kan du fortfarande läsa frågorna och svaren som ställts, men du kan inte skapa ett nytt konto eller nya trådar. Är du redan medlem kan du däremot fortfarande logga in och svara i befintliga trådar. Nya frågor och nytt konto skapar du på det nya forumet, välkommen dit!

[MA 4/D] Funktionens minsta värde

Elev98
Medlem

Offline

Registrerad: 2016-01-18
Inlägg: 913

[MA 4/D] Funktionens minsta värde

Hej!

Bestäm det minsta värde funktionen y = (e^x +x)^2 + 3.

Min gissning:

Borde det inte vara då x = 0 vilket medför att funktionsvärdet är 4 ??


Bra frågor är meningslösa utan Bra svar
 
Faabz
Medlem

Offline

Registrerad: 2013-07-12
Inlägg: 785

Re: [MA 4/D] Funktionens minsta värde

Du ska inte lösa ekvationen x = 0, du skall lösa ekvationen y' = 0 .

Testa kedjeregeln så borde du nog lösa den.


Jag har inga drömmar, endast mål.
 
Elev98
Medlem

Offline

Registrerad: 2016-01-18
Inlägg: 913

Re: [MA 4/D] Funktionens minsta värde

Faabz skrev:

Du ska inte lösa ekvationen x = 0, du skall lösa ekvationen y' = 0 .

Testa kedjeregeln så borde du nog lösa den.

Men det går inte då y' = 2(e^x + x)(e^x +1) blir resultatet 0 = 0!!!!?


Bra frågor är meningslösa utan Bra svar
 
Yngve
Medlem

Offline

Registrerad: 2015-09-13
Inlägg: 2941

Re: [MA 4/D] Funktionens minsta värde

Jo det går bra.
y' = 0 innebär att 2(e^x + x)(e^x +1) = 0

Om detta ska gälla så måste antingen
e^x + x = 0
eller
e^x +1 = 0

Vilken av dessa ekvationer har en reell lösning och vilken är den lösningen?

Senast redigerat av Yngve (2016-08-30 15:18)


Nothing else mathers
 
joculator
Medlem

Offline

Registrerad: 2012-09-12
Inlägg: 3920

Re: [MA 4/D] Funktionens minsta värde

Det är inte helt enkelt att lösa 2(e^x + x)(e^x +1)=0
LaTeX ekvation är en lösning

 
Yngve
Medlem

Offline

Registrerad: 2015-09-13
Inlägg: 2941

Re: [MA 4/D] Funktionens minsta värde

Edit - Råkade dubbelposta.

Senast redigerat av Yngve (2016-08-30 15:17)


Nothing else mathers
 
Elev98
Medlem

Offline

Registrerad: 2016-01-18
Inlägg: 913

Re: [MA 4/D] Funktionens minsta värde

Yngve skrev:

Jo det går bra.
y' = 0 innebär att 2(e^x + x)(e^x +1) = 0

Om detta ska gälla så måste antingen
e^x + x = 0
eller
e^x +1 = 0

Vilken av dessa ekvationer har en reell lösning och vilken är den lösningen?

Den första ekvationen borde kunna lösas men jag får bara att x = ln(-x), hur går man vidare??

Den andra ekvationen ger icke reell lösning då e^x > 0....

??


Bra frågor är meningslösa utan Bra svar
 
bebl
Medlem

Offline

Registrerad: 2009-04-21
Inlägg: 6670

Re: [MA 4/D] Funktionens minsta värde

Om du löser  LaTeX ekvation  med allmänna itetationsmedtoden då   kan du välja F(x) till
LaTeX ekvation  som startvärde LaTeX ekvation kan du välja LaTeX ekvation  som ger LaTeX ekvation

Snabbare konvergens med N-R där LaTeX ekvation om vi är tillräckligt nära den sökta roten  säg   LaTeX ekvation

Här kan LaTeX ekvation väljas till  LaTeX ekvation    med  LaTeX ekvation   och

LaTeX ekvation  och

LaTeX ekvation

Senast redigerat av bebl (2016-08-30 17:39)

 
Yngve
Medlem

Offline

Registrerad: 2015-09-13
Inlägg: 2941

Re: [MA 4/D] Funktionens minsta värde

Vi kanske inte behöver lösa ekvationen e^x + x = 0, utan det räcker med att vi vet att det finns en lösning.

Vi kan verifiera att det är en minimipunkt genom att derivera igen och konstatera att andraderivatan i punkten är större än noll.

Vi har alltså en minimipunkt för x = -e^x och vi kan då skriva originaluttrycket som

y = (e^x + x)^2 + 3 = (e^x - e^x)^2 + 3 = 0^2 + 3 = 3, vilket är svaret.

http://i.imgur.com/2l4eUG1.png

Senast redigerat av Yngve (2016-08-30 22:47)


Nothing else mathers
 
Elev98
Medlem

Offline

Registrerad: 2016-01-18
Inlägg: 913

Re: [MA 4/D] Funktionens minsta värde

bebl skrev:

Om du löser  LaTeX ekvation  med allmänna itetationsmedtoden då   kan du välja F(x) till
LaTeX ekvation  som startvärde LaTeX ekvation kan du välja LaTeX ekvation  som ger LaTeX ekvation

Snabbare konvergens med N-R där LaTeX ekvation om vi är tillräckligt nära den sökta roten  säg   LaTeX ekvation

Här kan LaTeX ekvation väljas till  LaTeX ekvation    med  LaTeX ekvation   och

LaTeX ekvation  och

LaTeX ekvation

Varför är LaTeX ekvation ? och varför är LaTeX ekvation och inte LaTeX ekvation?


Bra frågor är meningslösa utan Bra svar
 
Elev98
Medlem

Offline

Registrerad: 2016-01-18
Inlägg: 913

Re: [MA 4/D] Funktionens minsta värde

Yngve skrev:

Vi kanske inte behöver lösa ekvationen ë^x + x = 0, utan det räcker med att vi vet att det finns en lösning.

Vi kan verifiera att det är en minimipunkt genom att derivera igen och konstatera att andraderivatan i punkten är större än noll.

Vi har alltså en minimipunkt för x = -e^x och vi kan då skriva originaluttrycket som

y = (e^x + x)^2 + 3 = (e^x - e^x)^2 + 3 = 0^2 + 3 = 3, vilket är svaret.

http://i.imgur.com/2l4eUG1.png

blir y'' = 2e^x(e^x + 1) + 2(e^x +1)^2 ? Hur kan man se att y'' (x) < 0 ?


Bra frågor är meningslösa utan Bra svar
 
Yngve
Medlem

Offline

Registrerad: 2015-09-13
Inlägg: 2941

Re: [MA 4/D] Funktionens minsta värde

Elev98 skrev:

blir y'' = 2e^x(e^x + 1) + 2(e^x +1)^2 ? Hur kan man se att y'' (x) < 0 ?

Nej. Vi har

LaTeX ekvation
Då blir
LaTeX ekvation
Och
LaTeX ekvation


För extrempunkten LaTeX ekvation får vi då att

LaTeX ekvation


Eftersom LaTeX ekvation så är även LaTeX ekvation


Dvs LaTeX ekvation, vilket ger att LaTeX ekvation är funktionens minsta värde.


Men egentligen behöver vi inte gå omvägen runt y''.


Det räcker med att titta på LaTeX ekvation

Eftersom kvadratuttrycket aldrig är negativt så kan y aldrig bli mindre än 3.
Eftersom vi har hittat ett x som gör att kvadratuttrycket blir noll så måste 3 vara funktionens minsta värde.

Senast redigerat av Yngve (2016-08-30 22:39)


Nothing else mathers
 
Elev98
Medlem

Offline

Registrerad: 2016-01-18
Inlägg: 913

Re: [MA 4/D] Funktionens minsta värde

Yngve skrev:

Vi har alltså en minimipunkt för x = -e^x och vi kan då skriva originaluttrycket som

Hur fick du fram det av ekvationen 2(e^x + x)(e^x +1) = 0?


Bra frågor är meningslösa utan Bra svar
 
Yngve
Medlem

Offline

Registrerad: 2015-09-13
Inlägg: 2941

Re: [MA 4/D] Funktionens minsta värde

Elev98 skrev:

Yngve skrev:

Vi har alltså en minimipunkt för x = -e^x och vi kan då skriva originaluttrycket som

Hur fick du fram det av ekvationen 2(e^x + x)(e^x + 1) = 0?

Nollproduktsmetoden: Om LaTeX ekvation så måste antingen LaTeX ekvation eller LaTeX ekvation (eller båda).
Är du med på det?


Här har vi att LaTeX ekvation

Om denna ekvation ska ha någon lösning så måste alltså antingen LaTeX ekvation
eller LaTeX ekvation (eller att båda är lika med 0).


Eftersom LaTeX ekvation för alla reella tal x så kan inte LaTeX ekvation vara lika med 0.

Återstår då att LaTeX ekvation, vilket är samma sak som LaTeX ekvation

Dvs LaTeX ekvation gör att y'(x) = 0.



Men egentligen behöver vi ju inte ens gå omvägen över y'(x) för att lösa talet.

Det räcker med att studera LaTeX ekvation

Eftersom kvadratuttrycket LaTeX ekvation aldrig är negativ (för reella tal x), så kan y aldrig vara mindre än 3.


Men kan det då vara så litet som 3?


Jo det kan det, nämligen om kvadratuttrycket LaTeX ekvation är lika med 0.
Vi får då ekvationen LaTeX ekvation, med lösningen LaTeX ekvation.



Se där hittade vi vatten utan att gå över flera åar smile

Senast redigerat av Yngve (2016-08-30 23:39)


Nothing else mathers
 
Elev98
Medlem

Offline

Registrerad: 2016-01-18
Inlägg: 913

Re: [MA 4/D] Funktionens minsta värde

Yngve skrev:

För extrempunkten LaTeX ekvation

Är inte [tex]x_{0} = -e^{x_{0}} olösbart då det är kanske som att säga att 1 = -e^1 ?


Bra frågor är meningslösa utan Bra svar
 
Elev98
Medlem

Offline

Registrerad: 2016-01-18
Inlägg: 913

Re: [MA 4/D] Funktionens minsta värde

Yngve skrev:

Men egentligen behöver vi ju inte ens gå omvägen över y'(x) för att lösa talet.

Det räcker med att studera LaTeX ekvation

Eftersom kvadratuttrycket LaTeX ekvation aldrig är negativ (för reella tal x), så kan y aldrig vara mindre än 3.


Men kan det då vara så litet som 3?


Jo det kan det, nämligen om kvadratuttrycket LaTeX ekvation är lika med 0.
Vi får då ekvationen LaTeX ekvation, med lösningen LaTeX ekvation.



Se där hittade vi vatten utan att gå över flera åar smile

Om man tar denna väg hur kan man då vara helt säker på att det inte finns en annan lösning som man har missat?


Bra frågor är meningslösa utan Bra svar
 
Yngve
Medlem

Offline

Registrerad: 2015-09-13
Inlägg: 2941

Re: [MA 4/D] Funktionens minsta värde

Elev98 skrev:

Yngve skrev:

För extrempunkten LaTeX ekvation

Är inte LaTeX ekvation olösbart då det är kanske som att säga att 1 = -e^1 ?

Nej. Ekvationen LaTeX ekvation är inte uppfylld för vilket x som helst (och mer speciellt, inte för x=1).

Men det finns ett specifikt x för vilket ekvationen har en lösning. Om du skissar graferna till LaTeX ekvation och LaTeX ekvation så ser du att de skär varandra i exakt en punkt, för ett specifikt värde på x. Detta värde är ungefär -0,6 någonting (se lösning av bebl), men jag kallar istället det värdet för LaTeX ekvation.

Det som är viktigt är att LaTeX ekvation har den egenskapen att
LaTeX ekvation, vilket hjälper oss att lösa uppgiften.


Nothing else mathers
 
Yngve
Medlem

Offline

Registrerad: 2015-09-13
Inlägg: 2941

Re: [MA 4/D] Funktionens minsta värde

Elev98 skrev:

Om man tar denna väg hur kan man då vara helt säker på att det inte finns en annan lösning som man har missat?

Om du kallar LaTeX ekvation för LaTeX ekvation så kan du skriva funktionen som LaTeX ekvation

Den funktionen är välbekant.
Den har exakt ett välbestämt minsta värde y = 3 då z = 0.

z = 0 ger oss ekvationen LaTeX ekvation, som även den har exakt en lösning enligt tidigare inlägg.


Nothing else mathers
 
Elev98
Medlem

Offline

Registrerad: 2016-01-18
Inlägg: 913

Re: [MA 4/D] Funktionens minsta värde

Yngve skrev:

Elev98 skrev:

Yngve skrev:

För extrempunkten LaTeX ekvation

Är inte LaTeX ekvation olösbart då det är kanske som att säga att 1 = -e^1 ?

Nej. Ekvationen LaTeX ekvation är inte uppfylld för vilket x som helst (och mer speciellt, inte för x=1).

Men det finns ett specifikt x för vilket ekvationen har en lösning. Om du skissar graferna till LaTeX ekvation och LaTeX ekvation så ser du att de skär varandra i exakt en punkt, för ett specifikt värde på x. Detta värde är ungefär -0,6 någonting (se lösning av bebl), men jag kallar istället det värdet för LaTeX ekvation.

Det som är viktigt är att LaTeX ekvation har den egenskapen att
LaTeX ekvation, vilket hjälper oss att lösa uppgiften.

LaTeX ekvation är en funktion som består av LaTeX ekvation?


Bra frågor är meningslösa utan Bra svar
 
_Elo_
Medlem

Offline

Registrerad: 2016-05-28
Inlägg: 250

Re: [MA 4/D] Funktionens minsta värde

Elev98 skrev:

Hej!

Bestäm det minsta värde funktionen y = (e^x +x)^2 + 3.

Min gissning:

Borde det inte vara då x = 0 vilket medför att funktionsvärdet är 4 ??

Som tidigare nämnts behöver du inte hitta lösningen till ekvationen (e^x+x=0) för att visa att 3 är det minsta värdet, det räcker med att visa att en sådan lösning finns.
För att visa detta kan man göra som bebl gjort, men för att hålla det på en lägre nivå(som kanske passar för ma-4) kan man resonera sig fram till att det finns en lösning:

Om man tittar på funktionen f(x)=e^x+x finns en lösning till ekvationen f(x)=0 om det finns ett nollställe till grafen(dvs den korsar x-axeln). Då e^x>0 kan man direkt se att x måste vara mindre än 0 för att en sådan lösning ska finnas. Vi testar att sätta in två olika värden på x, t ex x=0 och x=-1:

x=0 ger f(x)=1
x=-1 ger f(x)~ -0,6

Eftersom värdena ligger på varsin sida om x-axeln och funktionen är kontinuerlig betyder det att en lösning finns i intervallet [-1 , 0].

 
Yngve
Medlem

Offline

Registrerad: 2015-09-13
Inlägg: 2941

Re: [MA 4/D] Funktionens minsta värde

Nej inte en funktion.

LaTeX ekvation är ett tal som har den egenskapen att det uppfyller ekvationen LaTeX ekvation

Ett närmevärde till LaTeX ekvation  är 0,6.. någonting.


Nothing else mathers
 
Henrik E
Medlem

Offline

Registrerad: 2015-09-22
Inlägg: 3189

Re: [MA 4/D] Funktionens minsta värde

Uppgiften har inte att göra med derivator. Som Yngve påpekar gäller det att visa att e^x+x kan bli noll, alltså att kurvan y=e^x+x skär x-axeln. För det räcker det att se att den är negativ för x=-1 och positiv för x=0.

 
Elev98
Medlem

Offline

Registrerad: 2016-01-18
Inlägg: 913

Re: [MA 4/D] Funktionens minsta värde

Henrik E skrev:

Uppgiften har inte att göra med derivator. Som Yngve påpekar gäller det att visa att e^x+x kan bli noll, alltså att kurvan y=e^x+x skär x-axeln. För det räcker det att se att den är negativ för x=-1 och positiv för x=0.

Menar du att man då kan dra slutstsen att e^x + x = 0 då -1 < x < 0 ?


Bra frågor är meningslösa utan Bra svar
 
Yngve
Medlem

Offline

Registrerad: 2015-09-13
Inlägg: 2941

Re: [MA 4/D] Funktionens minsta värde

Elev98 skrev:

Henrik E skrev:

Uppgiften har inte att göra med derivator. Som Yngve påpekar gäller det att visa att e^x+x kan bli noll, alltså att kurvan y=e^x+x skär x-axeln. För det räcker det att se att den är negativ för x=-1 och positiv för x=0.

Menar du att man då kan dra slutstsen att e^x + x = 0 då -1 < x < 0 ?

Nej, Henrik menar att det finns ett x som ligger mellan -1 och 0, och för vilket gäller att e^x + x = 0.


Nothing else mathers
 
Yngve
Medlem

Offline

Registrerad: 2015-09-13
Inlägg: 2941

Re: [MA 4/D] Funktionens minsta värde

Jag föreslår att du skriver om ekvationen som
e^x = -x

Skissa sedan kurvan y = e^x och kurvan y = -x.
Ser du att de skär varandra i exakt en punkt?

Det betyder att ekvationen har exakt en lösning, nämligen det x-värde där kurvorna skär varandra.

Senast redigerat av Yngve (2016-08-31 11:07)


Nothing else mathers
 


Sidfot

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson

Powered by Mattecentrum
 |  Denna sida använder cookies |  Kontakta oss |  Feedback |