Oj, det var många frågor!    Faktum är att det väldigt svårt att exakt bestämma fördelningen för av funktioner av flera slumpvariabler, utom i några få lyckosamma fall.

Om X och Y är oberoende och normalfördelade, säg X ~ N(m, s^2) och Y ~ N(t, v^2) så vet vi att X+Y ~ N(m+t, s^2 + v^2). Man kan visa detta genom att se att variabeln Z = X+Y har värdet z i alla punkter (x,y) : x+y = z, vilket betyder att täthetsfunktionen f(z) kan fås genom att integrera den 2-dimensionella täthetsfunktionen f(x,y) längs efter linjen  x+y = z.  På samma sätt kan man visa att X-Y ~ N(m-t, s^2 + v^2), och man kan generalisera det till vilken linjärkombination som helst.

Liknande resultat finns för summor/differenser av många vanliga fördelningar.  För binomialfördelningen gäller att om X ~ Bin(m, p) och Y ~ Bin(n,p) så är X+Y ~ Bin(m+n, p).  Men om p inte är samma i båda så funkar det inte längre, då är X+Y inte ens en binomialfördelning längre (det finns ingen sluten form tror jag).

Produkter och kvoter är mer problematiskt, det finns typiskt ingen sluten form.  Kvoter av två normalfördelade variabler studeras fortfarande i matematikforskning, se t.ex.
http://link.springer.com/article/10.100 … 012-0429-2
För specialfallet X,Y båda N(0,1) så har X/Y så kallad Cauchyfördelning https://en.wikipedia.org/wiki/Cauchy_distribution
Det är en mysko fördelning, de flesta moment (integraler) fungerar inte, och det går inte ens att definiera något medelvärde :-O

Sammantaget: det här är en stor och komplex fråga. Summor av variabler funkar oftast, du hittar dem i formelsamlingar.  Det flesta andra funktioner ger inte exakta fördelningar utan man får köra numeriska beräkningar.