Meddelande

Du befinner dig just nu på en äldre version av Pluggakuten, gamla.pluggakuten.se. Nya Pluggakuten lanserades den 6 februari 2017 och du finner forumet på www.pluggakuten.se.

På gamla.pluggakuten.se kan du fortfarande läsa frågorna och svaren som ställts, men du kan inte skapa ett nytt konto eller nya trådar. Är du redan medlem kan du däremot fortfarande logga in och svara i befintliga trådar. Nya frågor och nytt konto skapar du på det nya forumet, välkommen dit!

[HSM] Gäller "Rationella funktioner-bråk uppdelning"

polaris
Medlem

Offline

Registrerad: 2014-05-15
Inlägg: 12

[HSM] Gäller "Rationella funktioner-bråk uppdelning"

Hej !

Skall tenta om kursen "analys i en variabel" och har kört fast vid bråkuppdelning av rationella funktioner.

Låt säga att man har bråket:( 2x^2 + x -3 )/ (x+1)^2(x+2). En metod för att lösa fram integralerna tillhörande bråket är att göra följande: A/(en av faktorerna i nämnaren ovan) + B/(en av faktorerna i nämnaren ovan) +
C/(en av faktorerna i nämnaren ovan). Och sedan utföra några enklare beräkningar som jag inte behöver någon hjälp med. Min fråga är vilken av faktorerna i nämnaren hamlar under vilken A,B respektive C (eller D, E osv)?

mvh Jullen

 
Henrik E
Medlem

Offline

Registrerad: 2015-09-22
Inlägg: 3189

Re: [HSM] Gäller "Rationella funktioner-bråk uppdelning"

När en av faktorerna är i kvadrat, som i ditt exempel, blir det A/(x+1) + B/(x+1)^2 + C/(x+2)

 
polaris
Medlem

Offline

Registrerad: 2014-05-15
Inlägg: 12

Re: [HSM] Gäller "Rationella funktioner-bråk uppdelning"

Tack för  svaret smile. Hur hade det blivit i detta fallet, och hur skall man tänka gällande vilken faktor som skall ligga under vilken av A B C D E mm.

x^2 +2 / x(2x^2 +1)^2

mvh Jullen

 
polaris
Medlem

Offline

Registrerad: 2014-05-15
Inlägg: 12

Re: [HSM] Gäller "Rationella funktioner-bråk uppdelning"

I boken gör dom så här men utan att förklara:

A/x + (Bx+C)/(2x^2 +1) + (Dx+E)/(2x^2 +1)^2

Samt varför läggs x till vid B och D i täljarna ?

mvh Jullen

 
voun
Medlem

Offline

Registrerad: 2012-05-22
Inlägg: 292

Re: [HSM] Gäller "Rationella funktioner-bråk uppdelning"

 
bebl
Medlem

Offline

Registrerad: 2009-04-21
Inlägg: 6670

Re: [HSM] Gäller "Rationella funktioner-bråk uppdelning"

OBSERVARA att i ditt fall LaTeX ekvation som är på formen LaTeX ekvation gäller att LaTeX ekvation
Vilket det bör vara annars får man ett polynom som "heltalsdel" vilket lätt integreras term för term.

Vidare gäller att det finns flera olika alternativ att gå vidare vid koefficientbestämningen.
Bl.annat gäller att LaTeX ekvation  där man även kan gå vidare och göra liknämnigt.

så vi kan få olika uppsättningar av koefficienter beroende på vilka del-polynom vi väljer

 
polaris
Medlem

Offline

Registrerad: 2014-05-15
Inlägg: 12

Re: [HSM] Gäller "Rationella funktioner-bråk uppdelning"

Tack för båda svaren. bebl, den första delen av ditt svar förstår jag precis, men den andra delen förstår jag inte riktigt vad du menar med. Hade uppskattat om du kan förklara den på ett lite "lättare" sätt samt hur det relaterar till vilken av faktorerna som skall vara under vilken av A B C D E osv.

mvh Jullen

 
polaris
Medlem

Offline

Registrerad: 2014-05-15
Inlägg: 12

Re: [HSM] Gäller "Rationella funktioner-bråk uppdelning"

även varför ett x läggs till till B respektive D i det exempel jag postade 20.09.
mvh Jullen

 
polaris
Medlem

Offline

Registrerad: 2014-05-15
Inlägg: 12

Re: [HSM] Gäller "Rationella funktioner-bråk uppdelning"

det jag postade 20.07 samt 20.09

mvh jullen

 
Henrik E
Medlem

Offline

Registrerad: 2015-09-22
Inlägg: 3189

Re: [HSM] Gäller "Rationella funktioner-bråk uppdelning"

Dela upp nämnaren i faktorer så långt det går. Faktorerna blir nämnare i partialbråksuppdelningen. Om någon faktor finns i kvadrat blir kvadraten en av nämnarna. Täljarna har obekanta koefficienter och graden ska vara ett mindre än nämnarens.

 
polaris
Medlem

Offline

Registrerad: 2014-05-15
Inlägg: 12

Re: [HSM] Gäller "Rationella funktioner-bråk uppdelning"

Hej Henrik tack för att du tog dig tid att svara smile. Om du kollar på det du postade 20.03 så la du (x+1)^2 i nämnaren under B, om du tittar på det exempel jag postade 20.07 och sedan på bokens lösning jag postade 20.09, där lägger dom (2x^2 +1)^2 i nämnaren under Dx E. Jag förstår inte logiken i vart vilka faktorer skall läggas. Alltså under vilken av A B C D E skall respektive faktorer läggas. Har det att göra med graden på hela faktorn?   (x^2+1)^2  hamlar under Dx E i exemplet jag postade, varför ? Och även varför lägger man till ett x till B och D i exemplet "Bx" "Dx" ?

mvh jullen

 
albiki
Medlem

Offline

Registrerad: 2008-05-25
Inlägg: 6403

Re: [HSM] Gäller "Rationella funktioner-bråk uppdelning"

Det givna rationella uttrycket kan skrivas som ett partialbråk, eftersom täljaren är en polynomfunktion vars grad är mindre än graden hos polynomfunktionen i nämnaren.

    LaTeX ekvation

Varför ser uppdelningen ut på detta sätt? Därför att täljarna ska vara polynomfunktioner vars grad är 1 enhet lägre än nämnarens grad.

Det första partialbråket kan uttryckas på följande alternativa sätt.

    LaTeX ekvation

Det andra partialbråket kan inte förenklas eftersom dess täljare (C) är en polynomfunktion av grad noll.

Koefficienterna A och B' och C kan bestämmas med Handpåläggningsmetoden (den mest effektiva metoden vid partialbråksuppdelning).

 
polaris
Medlem

Offline

Registrerad: 2014-05-15
Inlägg: 12

Re: [HSM] Gäller "Rationella funktioner-bråk uppdelning"

tack för svaret smile skall definitivt kolla upp handpåläggnings metoden.

mvh jullen

 
bebl
Medlem

Offline

Registrerad: 2009-04-21
Inlägg: 6670

Re: [HSM] Gäller "Rationella funktioner-bråk uppdelning"

för handpåläggningsmetoden se sista stycket i https://sv.wikipedia.org/wiki/Partialbr … uppdelning

 
polaris
Medlem

Offline

Registrerad: 2014-05-15
Inlägg: 12

Re: [HSM] Gäller "Rationella funktioner-bråk uppdelning"

tack för länken och tipset

 
albiki
Medlem

Offline

Registrerad: 2008-05-25
Inlägg: 6403

Re: [HSM] Gäller "Rationella funktioner-bråk uppdelning"

Handpåläggningsmetoden tillämpad på det rationella uttrycket

Koefficienten A: Multiplicera högerled och vänsterled med (x+1). Förenkla. Sätt sedan x=-1; detta är själva handpåläggningen.
Vänsterled = (2-1-3)/0.
Högerled = A + B/0.

Eftersom man får division med 0 kan A ej bestämmas med Handpåläggningsmetoden. Koefficienten A får bestämmas på annat sätt, efter att B' och C bestämts.

Koefficienten B'. Multiplicera högerled och vänsterled med (x+1)^2. Förenkla. Sätt sedan x= -1.
Vänsterled = (2-1-3)/(-1+2) = -2.
Högerled = A*0 + B' + C*0 = B'.

Resultat: B' = -2

Koefficienten C. Multiplicera högerled och vänsterled med (x+2). Förenkla. Sätt sedan x=-2.
Vänsterled = (8-2-3)/1 = 3.
Högerled = A*0 + B'*0 + C.

Resultat: C = 3

Koefficienten A, igen. Vi har kommit fram till följande partialbråksuppdelning av det rationella uttrycket.

    LaTeX ekvation

Denna uppdelning ska vara sann för varje tänkbart tal x där högerled och vänsterled är definierade. För att bestämma koefficienten A kan man välja ett tillåtet x-värde som gör det enkelt att beräkna högerled och vänsterled. Jag väljer x=0.

Vänsterled = -3/2.
Högerled = A - 2 + 3/2.

Eftersom Vänsterled är samma tal som Högerled måste det gälla att A = 2 - 3 = -1.

Resultat: Partialbråksuppdelningen är

    LaTeX ekvation

Kontrollera resultatet: För att kontrollera att uppdelningen stämmer kan du skriva de tre bråken på gemensam nämnare och förenkla täljaren, som efter förenkling ska bli (2x^2+x-3).

 
polaris
Medlem

Offline

Registrerad: 2014-05-15
Inlägg: 12

Re: [HSM] Gäller "Rationella funktioner-bråk uppdelning"

Tack albiki för förklaringen, gjorde det mycket lätt att förstå.

mvh jullen

 


Sidfot

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson

Powered by Mattecentrum
 |  Denna sida använder cookies |  Kontakta oss |  Feedback |