Meddelande

Du befinner dig just nu på en äldre version av Pluggakuten, gamla.pluggakuten.se. Nya Pluggakuten lanserades den 6 februari 2017 och du finner forumet på www.pluggakuten.se.

På gamla.pluggakuten.se kan du fortfarande läsa frågorna och svaren som ställts, men du kan inte skapa ett nytt konto eller nya trådar. Är du redan medlem kan du däremot fortfarande logga in och svara i befintliga trådar. Nya frågor och nytt konto skapar du på det nya forumet, välkommen dit!

Visa att summan är irrationell

Oscillatorn
Medlem

Offline

Registrerad: 2012-07-24
Inlägg: 580

Visa att summan är irrationell

God kväll!
Det var ett tag sen jag gjorde ett inlägg här på PA, så jag tänkte att det var dags nu. Jag har ett problem som jag komma att tänka på en kort stund när jag höll en räkneövning för matematikstudenter. Låt LaTeX ekvation beteckna de LaTeX ekvation första primtalen i sin naturliga ordning. Frågan är, gäller det då att

LaTeX ekvation för varje fixt positivt heltal LaTeX ekvation.

Jag misstänker att påståendet är sant, eftersom alternativet känns alldeles för osannolikt. Jag har redan betraktat fallet LaTeX ekvation och det tycks stämma och min första naiva tanke var att använda induktion, men jag fick inte det till att gå ihop. Jag googlade runt lite och läste om att man eventuellt skulle kunna lösa problemet med mha Galois Teori och det kanske är möjligt, men jag är främst ute efter en elementär lösning (om så finns).

Anledningen till att jag delar detta problem är för att jag tyvärr inte hinner sitta med det de kommande veckorna, men vill och andra sidan inte lämna något olöst, så kom gärna med synpunkter och idéer!

Senast redigerat av Oscillatorn (2016-04-25 20:25)


"People don't work... "
 
Smutsmunnen
Medlem

Offline

Registrerad: 2010-04-18
Inlägg: 868

Re: Visa att summan är irrationell

Jag har sett det här någon gång. Det är naturligtvis sant och går att lösa med galois men visar elementär lösning. Den här lösningen är något mer allmän än vad du egentligen efterfrågade.

Ok. Antag LaTeX ekvation är positiva irrationella tal sådana att LaTeX ekvation är rationella. Jag hävdar att
LaTeX ekvation är irrationellt.

Antag nämligen motsatsen. Det vill säga det existerar ett n sådant att det existerar positiva, irrationella LaTeX ekvation vars kvadrater är rationella och vars summa är rationell. Då existerar det ett minsta n-värde för vilket sådana tal existerar. Kalla detta minsta värde m.

Definiera nu en funktion i m+1 variabler:

LaTeX ekvation

där produkten alltså genomlöper LaTeX ekvation olika permutationer. Några saker att observera om den här funktionen:

1)LaTeX ekvation ger oss ett nollställe.

2)alla koefficenter är heltal

3) Undantaget LaTeX ekvation kommer alla LaTeX ekvation endast förekomma med jämna potenser.

Vi definierar nu ytterligare en funktion LaTeX ekvation som helt enkelt består av alla termer i utvecklingen av f(x) där LaTeX ekvation har en jämn potens.

Sedan definierar vi ytterligare en funktion som ska ta hand om de udda termerna LaTeX ekvation sådan att:

LaTeX ekvation

Nu finns två möjligheter:

1) LaTeX ekvation

Genom att sätta x=s får vi då:

LaTeX ekvation

Men HL är här kvoten mellan två polynom båda med heltalskoefficenter med rationella variabler och därför rationell medan VL är irrationell. Motsägelse.

2) LaTeX ekvation

Vi har då:

LaTeX ekvation

vilket ger oss

LaTeX ekvation

och sedan har vi:

LaTeX ekvation

så att alltså:

LaTeX ekvation

Så vi har alltså att LaTeX ekvation är rationellt men också att någon annan permutation t (med minst ett minustecken) av

LaTeX ekvation också är rationell. Men summan LaTeX ekvation kommer då att bestå av färre än m termer och i övrigt uppfylla alla våra villkor. Motsägelse.

Senast redigerat av Smutsmunnen (2016-04-25 23:23)

 
albiki
Medlem

Offline

Registrerad: 2008-05-25
Inlägg: 6403

Re: Visa att summan är irrationell

En relaterad fråga som jag funderar över: Låt LaTeX ekvation vara ett fixerat positivt heltal. Vilka positiva heltal LaTeX ekvation besitter följande egenskap:

    Låt LaTeX ekvation vara LaTeX ekvation stycken irrationella tal sådana att deras LaTeX ekvation-potenser är rationella tal, LaTeX ekvation.
    Då är summan LaTeX ekvation ett irrationellt tal.


Det är självklart att LaTeX ekvation måste vara större än 1, och Smutsmunnen har visat mängden av sådana LaTeX ekvation-tal är icke-tom (mängden innehåller talet 2). Finns det fler tal i mängden? Vilka är de?

Om LaTeX ekvation och LaTeX ekvation är tal i mängden, är LaTeX ekvation det också?

 


Sidfot

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson

Powered by Mattecentrum
 |  Denna sida använder cookies |  Kontakta oss |  Feedback |